(3) p > 1 qp ≧ 2

年番号
1
2
次の問いに答えよ．
(1) x > 0，y > 0 のとき，不等式
氏名
A と B は，赤球 2 個と白球 1 個が入った袋をそれぞれ 1 つずつ持っている．
次のような試行を考える．
B
x+y
= xy を証明せよ．また，等号が
2
A と B が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を 1 つ選び，
成り立つときを調べよ．
(2) a > 0，b > 0，c > 0 で，a Ë 1，c Ë 1 のとき，等式 loga b =
色を見てからもとの袋に戻す．
logc b
logc a
上の試行を n (n = 2) 回繰り返したとき，n 回の試行の中で A と B が取り
を証明せよ．
出した球の色が一致することが少なくとも 1 回起こるが続けては起こらない
(3) p > 1，q > 1 のとき，不等式 logp q + logq p = 2 を証明せよ．また，等
確率を Pn とする．このとき，次の各問に答えよ．
号が成り立つときを調べよ．
(1) 1 回の試行で，A と B が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
（富山県立大学 2016 ）
(2) P2 ; P3 を求めよ．
(3) n = 4 のとき，
Pn =
20
5 ¢ 4n¡1
4
Pn¡1 +
Pn¡2 +
9
81
9n
が成り立つことを示せ．
（宮崎大学 2016 ）
-1-
3
異なる n 個の整数 1; 2; 3; Ý; n の中から 3 個の整数を選び，それらの和
を 3 で割った余りが 0; 1; 2 となる確率をそれぞれ pn ，qn ，rn とするとき，
次の問いに答えよ．
(1) 同じ整数を重複して選ぶことを許すとき，p9 ，q9 ，r9 を求めよ．
(2) 同じ整数を重複して選ぶことを許さないとき，
‘ p3k ，q3k ，r3k を k を用いて表せ．ただし，k = 3 とする．
’ lim p3k を求めよ．
k!1
（岐阜薬科大学 2014 ）
4
xy 平面上に x = 2 cos 2µ，y = 2 cos 3µ (0 5 µ 5 ¼) と媒介変数表示され
た曲線 C を考える．このとき，次の問に答えよ．
¼
¼
において，y を x の式で表せ．また，
5 µ 5 ¼ において，
2
2
y を x の式で表せ．
(1) 0 5 µ 5
(2) 曲線 C の概形を描け．
(3) 曲線 C が囲む領域の面積を求めよ．
（佐賀大学 2014 ）
5
次の問いに答えよ．
p
(1) x = 1 のとき，不等式 2 x > 1 + log x が成り立つことを証明せよ．
(2) 関数 y = x log x (x > 0) のグラフを曲線 C とする．定数 a に対し，曲線
C の接線で点 (a; 0) を通るものは何本あるか．
(3) (2) で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および直線 x = e¡2 で囲まれ
た部分の面積を求めよ．
（名古屋工業大学 2015 ）
-2-

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