解答例＋引用1題PDF

2015 ２次数学セレクション
１
問題
[千葉大]
2
2
双曲線 x - y = 1 ……①の漸近線 y = x ……②上の点 P0 : ( a0 , a0 ) (ただし a0 > 0 )
を通る双曲線①の接線を考え, 接点を Q1 とする。 Q1 を通り漸近線②と垂直に交わる
直線と, 漸近線②との交点を P1 : ( a1 , a1 ) とする。次に P1 を通る双曲線①の接線の接
点を Q2 , Q2 を通り漸近線 ② と垂直に交わる直線と , 漸近線 ② との交点を
P2 : ( a2 , a2 ) とする。この手続きを繰り返して同様にして点 Pn : ( an , an ) , Qn を定義
していく。
(1) Qn の座標を an を用いて表せ。
(2) an を a0 を用いて表せ。
(3) △ Pn Qn Pn-1 の面積を求めよ。
－1－
2015 ２次数学セレクション
１
解答解説
[千葉大]
2
2
(1) 双曲線 x - y = 1 … … ① 上の点 Qn ( bn , cn ) , その漸近線
y
P
y = x ……②上の点 Pn ( an , an ) に対して,
bn2 - cn2 = 1 , ( bn + cn )( bn - cn ) = 1 ………③
P
点 Qn を通り, 漸近線②に垂直な直線は,
P
O
Q1
Q
x + y = bn + cn
x
この直線が Pn ( an , an ) を通ることより,
2an = bn + cn ………④
③④より, bn - cn = 1 ……⑤となり, ④⑤から,
2an
bn = 1 ( 2an + 1 ) = an + 1 , cn = 1 ( 2an - 1 ) = an - 1
2
2an
4an
2
2an
4an
1
1
, an よって, Qn ( an +
) である。
4an
4an
(2) 点 Qn における①の接線は, (1)から, ( an + 1 ) x - ( an - 1 ) y = 1
4an
4an
この接線が点 Pn-1 ( an-1 , an-1 ) を通るので,
( an + 41an )an-1 - ( an - 41an )an-1 = 1 ,
1 a
n-1 = 1
2an
n
よって, an = 1 an-1 となり, an = a0 ( 1 ) である。
2
2
(3) △ Pn Qn Pn-1 は  Pn-1Pn Qn = 90 の直角三角形であり,
Pn-1Pn = 2 ( an-1 - an ) = 2 ( 2an - an ) = 2an
Pn Qn =
2
2
( an + 41an - an ) + ( an - 41an - an )
=
1 = 1
8an2
2 2an
よって, △ Pn Qn Pn-1 = 1 ⋅ 2an ⋅ 1
= 1 である。
2
4
2 2an
［解説］
漸化式の双曲線への応用問題です。煩わしい計算の多い 2 次曲線としては, 計算量
は少なめです。
－1－
© 電送数学舎 2015

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