(1) f(x) - SUUGAKU.JP

Za
5
¡ x;
実数 a に対して，関数 fa (x) = ¡3x2 + #
fa (t) dt を満たすとする．
4
0
Za
(1) k =
fa (t) dt とおく．このとき，k を a の分数式で表せ．
1
3
0
(2) どのような実数 a に対しても，2 次方程式 fa (x) = 4x ¡ 20 が異なる 2 つの実数解をもつこと
p
p
¡ 5 5 x 5 5 で定義される 2 つの関数
C
f(x) =
C
jxj +
g(x) =
C
jxj ¡
を示せ．
C
5 ¡ x2
5 ¡ x2
に対し，次の問いに答えよ．
(3) (2) の方程式の解がともに正であるような a の値の範囲を求めよ．
（信州大学 2012 ）
(1) 関数 f(x) と g(x) の増減を調べ，y = f(x) と y = g(x) のグラフの概形をかけ．
(2) 2 つの曲線 y = f(x); y = g(x) で囲まれた図形の面積を求めよ．
（信州大学 2012 ）
4
次の問いに答えよ．
(1) 0 < x <
2
1
関数 f(x) = p (1 + sin x) cos x (0 5 x 5 ¼) を考える．
3
¼
に対し，
2
x < tan x
(1) f(x) の増減と極値，および曲線 y = f(x) の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2) 曲線 y = f(x) と，x 軸および 2 直線 x = 0; x = ¼ で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
（信州大学 2012 ）
となることを示せ．
(2) x > 0 に対し，
log #x +
C
1 + x2 ; > sin x
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．
（信州大学 2012 ）
5
実数 a は a > ¡1 とする．関数 f(x) = 3x3 ¡ 7x2 + 5x ¡ 1 に対し，
8
(1) n を自然数とするとき，42n¡1 + 3n+1 は 13 の倍数であることを示せ．
1p
(2)
の整数部分を ®，小数部分を ¯ とするとき ®; ¯ を求めよ．また ®2 ¡ 18¯2 を求めよ．
5 ¡ 19
f(a) ¡ f(¡1)
¡1 < c < a;
= f 0 (c)
a+1
となる c がちょうど 2 つ存在するような a の値の範囲を求めよ．
（信州大学 2012 ）
（信州大学 2012 ）
6
さいころを 1000 回投げるとき，1 の目がちょうど k 回出る確率を Pk とおく．Pk が最大となる
k を求めよ．
（信州大学 2012 ）
7
次の問いに答えよ．
次の 3 条件をすべてみたす xy 平面上の円 C が存在するような実数 t を求めよ．
‘ 円 C の半径は 3 である．
’ 円 C は x 軸に接する．
“ 点 P(t; t2 ) は円 C 上にあり，点 P における円 C の接線の方程式は y = 2tx ¡ t2 である．
（信州大学 2012 ）

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