範囲 高校数学Ⅰ 2次関数 2次方程式 解の配置問題 問題0010 2次方程式 x 2 +2ax +3a =0 について、次の条件を満たすような定数 a の値の範囲を求めよ。 (!) 解がすべて 1 より小さい実数である。 (2) 1より小さい実数解と 1 より大きい実数解をもつ。 (1)は、 (ア)グラフをかき、頂点、軸、端点に着目して解く方法 (イ) x -1= t とおき、解と係数の関係に持ち込む方法 (ウ)、定数 a を分離して解く方法があるが、 (ア)で必要十分である。難しい問題になればそれを納得してもらえると思う そ の 理 由 は、 ( イ ) で も 判 別 式 は 必 要 な の で 計 算 が さ ほど楽になるわけでな い。 特 に、 (ウ )などは、 a の次数が 2 になったりするとかえって複雑になる。2 次 関 数 で 定 数 分 離の手法はあまり必要ない、そんな時間があれば英単語の1 つでも覚えた方がいい、大学受験は数学ではきまらない。 ただ、定数を分離するという視点は大切である。 (1)は まず、題意を満たすようなグラフをかいてみよう。 考 え る 順 番 を 自 分で決めるといいです。ここでは下に凸のグラフで説明しま す。 ◆まず、解があるのか無いのかです。 解があるなら頂点の y 座標が 0 以下、あるいは判別式 0 以上です。 ◆ 次 に 軸 を み て い き ま す。 軸 の 方 程式は、 x =- 2a =-a 、さて、かりに、 2 軸 が 1 よ り 大 き い と、この2次関数は下に凸のグラフですから、軸から右側 で は 増 加 の 関 数になり、必ず、 1 より大きい解をもつことになります。です から、軸は 1 より小さくなければいけません。 ◆ 次に端点 x =1 での y の符号をみます。 y が負つまり、グラフで x 軸より下 にあれば x >1 より大の解をもちます(もう1つは 1 より小さい解)。、解がす べて 1 より小さい実数であるためには、関数に x =1 を代入したとき、正でな ければいけません。 こ こ で は、 グ ラ フ を入れた解説は省略します。どのような問題集にもある問 題 で す。 こ の 解 説 で納得できないようなら、類似問題を探して勉強すること を勧めます。 大 切 な の は、 困 難 は分割せよで、順序よく上のように場合分けをしていくこ とです。 それでは、解答 2 +2ax +3a とする。 D =a 2-3a 0 こ れ は、 a (a -3)0 こ の 不等 実 数 解 を も つ の で、 判 別 式 4 式を解いて a 0,a 3 …① グ ラ フ の 軸 は、 問 題 に 「 解 が す べ て 1 よ り 小 さ い 実 数 で ある。」とあるの で、 軸 : x =-a <1 で す。 等 号 は は い り ま せ ん、 1 よ り 小さい実数だからで す。この不等式を解いて、 a >-1 …② 最後に f (1) の符号は 0 より大きいので、 1 f (1)=1+2a +3a >0 これは、 5a >-1 つまり、 a >- …③ 5 1 ①から③の共通部分を求めると、 - <a 0, または、 3a となります。 5 2次方程式 f (x )=x (2) こ れ は、 f (1) の 値 が 負 で あ れ ば よ い、 そ し て、 実 数 解 を も つ た め の 条 件 D >0 は必要ない。この問題の結果はしっかりと覚えておくとよい。 解答 -1- f (1)=5a +1<0 を解いて、 a <- 1 5 ちなみに、 2 次 方 程 式 ax 2 +bx +c =0 で a >0 下 に 凸 の グ ラ フ で 正 数 と 負数に解をも つ条件は f (0)=c <0 である。 D >0 は必要ない -2-
© Copyright 2024 ExpyDoc