2015一橋大

2015 一橋大
問題 2
座標平面上の原点を O とする。点 A(a, 0), 点 B(0, b) および点 C が
OC = 1, AB = BC = CA
を満たしながら動く。
(1) s = a2 + b2 , t = ab とする。s と t の関係を表す等式を求めよ。
(2) 4ABC の面積のとりうる値の範囲を求めよ。
解答
(1) C(x, y) とおくと、
1
x2 + y 2 = 1 · · · · · · 2
(x − a) + y 2 = a2 + b2 · · · · · · 2
3
x2 + (y − b) = a2 + b2 · · · · · · 2
4
s = a2 + b2 · · · · · · 5
t = ab · · · · · · 求めるものは、
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 を同時に満たす実数
「
x, y, a, b が存在する」
ような s, t の全体である。
[
]
1 ∧
2 ∧
3 ∧
4 ∧
5
[
]
1 ∧
4 ∧
5 ∧ −2ax + 1 = b2 ∧ −2by + 1 = a2
⇔ \ 0∧b=
\ 0 で考える。
以下、a =
x=
1 − b2
1 − a2
,y =
2a
2b
1 に代入して、
となるから、まず、x, y が存在するために、これを
(
)
(
)
2
2
1 − b2
1 − a2
+
=1
2a
2b
(
)2
(
)2
⇔ b2 1 − b2 + a2 1 − a2 = 4a2 b2
⇔ a2 + b2 − 2a4 − 2b4 − 4a2 b2 + a6 + b6 = 0
(
)(
)
⇔ a2 + b2 1 − 2a2 − 2b2 + a4 + b4 − a2 b2 = 0
(
) (
)2
⇔ 1 − 2 a2 + b2 + a2 + b2 − 3a2 b2 = 0
c
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-1-
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4 ,
5 を満たす実数 a, b が存在するための条件を求める。
4 ,
5 を
つぎに、これと
満たす実数 a, b が存在するために、a2 , b2 が
X 2 − sX + t2 = 0
の２解であることより、
A
s2 − 4t2 = 0 ∧ s = 0 · · · · · · このもとで、a, b が上の条件を満たすために、
1 − 2s + s2 − 3t2 = 0
B
⇔ (1 − s) = 3t2 · · · · · · 2
1 ,
2 より、b = ±1
最後に a = 0 または b = 0 の場合を考察する。a = 0 のとき、
A に吸収される。b = 0
でこのとき、x, y も存在し、s = 1, t = 0 となりこの結果は
も同様である。
(2) 4ABC の面積 S は
√
√
)
3( 2
3
2
S=
a +b =
s
4
4
A ,
B を満たす t があるために、
であるから、s の取り得る値の範囲を求める。
2
(1 − s)
=0∧s=0
3
⇔ 0 5 s ∧ s2 − 8s + 4 5 0
√
√
⇔4−2 35s54+2 3
s2 − 4
よって、S の値域は
√ (
√ (
√ )
√ )
3
3
4−2 3 5S 5
4+2 3
4
4
√
√
3
3
∴ 3− 5S 5t 3+
2
2
c
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-2-
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