No.12 解答［1］ rk A = r とおく．このとき，階数の定義から P AQ = ( Ir ) と

No.12 解答
［１］
rk A = r とおく．このとき，階数の定義から
(
P AQ =
Ir
On−r,r
Or,m−r
On−r,m−r
)
となるような n 次正則行列 P および m 次正則行列 Q が存在する．
(
)
Ir
Or,m−r
C=
On−r,r On−r,m−r
とおけば，P A = CQ−1 なので，P AB = CQ−1 B ．P が正則なので，rk AB = rk CQ−1 B ．ここで，
(
)
(
)
Ir
Or,m−r
C′
−1
−1
CQ B =
Q B=
(C ′ は r 行 m 列)
On−r,r On−r,m−r
On−r,m
なので，rk CQ−1 B = rk C ′ ≤ r．
次に，rk B = s とおく．このとき，階数の定義から
(
Is
P BQ =
Om−s,s
Os,l−s
Om−s,l−s
)
となるような m 次正則行列 P および l 次正則行列 Q が存在する．
(
)
Is
Os,l−s
C=
Om−s,s Om−s,l−s
とおけば，BQ = P −1 C なので，ABQ = AP −1 C ．Q が正則なので，rk AB = rk AP −1 C ．ここで，
(
)
(
)
Is
Os,l−s
−1
−1
AP C = AP
= C ′ Om,l−s (C ′ は m 行 s 列)
Om−s,r Om−s,l−s
なので，rk AP −1 C = rk C ′ ≤ s．
別解．rk A = r とおけば，階数の定義から
(
P1 AQ1 =
Ir
Or,m−r
On−r,r
On−r,m−r
)
となるような n 次正則行列 P1 および m 次正則行列 Q1 が存在する．このとき，
)
(
)
(
′
Ir
Or,m−r
A
(A′ は r 行 m 列)
P1 A =
Q−1
1 =
On−r,m
On−r,r On−r,m−r
一方, rk B = s とおけば，
(
P2 BQ2 =
Is
Om−s,s
Os,l−s
Om−s,l−s
)
となるような m 次正則行列 P2 および l 次正則行列 Q2 が存在する．このとき，
(
)
(
)
Is
Os,l−s
−1
BQ2 = P2
= B ′ Om,l−s (B ′ は m 行 s 列)
Om−s,s Om−s,l−s
1
したがって，
(
P1 ABQ2 =
A′ B ′
On−r,s
Or,l−s
On−r,l−s
)
さらに，A′ B ′ が r 行 s 列なので，rk A′ B ′ ≤ min(r, s)．したがって，rk AB = rk P1 ABQ2 = rk A′ B ′ に注
意して結論を得る．
［２］
［１］から rk AB ≤ rk A ≤ m < n なので，n 次正方行列 AB は正則ではない．
［３］
(1) λ1 x1 +λ2 x2 +· · ·+λr xr = 0 となる実数の組 (λ1 , λ2 , . . . , λr ) が (0, 0, . . . , 0) に限るとき，x1 , x2 , . . . , xr
は一次独立であるという．
(2) λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr = µ1 x1 + µ2 x2 + · · · + µr xr なので，
(λ1 − µ1 )x1 + (λ2 − µ2 )x2 + · · · + (λr − µr )xr = 0
ここで，x1 , x2 , . . . , xr が一次独立なので，λ1 − µ1 = 0, λ2 − µ2 = 0, . . . , λr − µr = 0．これから
(λ1 , λ2 , . . . , λr ) = (µ1 , µ2 , . . . , µr ) を得る．
［４］
(1) λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λs xs = 0 (λ1 , λ2 , . . . , λs は実数) と仮定する．このとき，λs+1 = . . . = λr = 0 と
おけば，
λ1 x1 + · · · + λs xs + · · · + λs+1 xs+1 + · · · + λr xr = 0
ここで，x1 , x2 , . . . , xr が一次独立なので，λ1 = λ2 = . . . = λs = 0．したがって，x1 , x2 , . . . , xs は一次
独立．
別証．x1 , x2 , . . . , xs が一次従属と仮定すれば，実数の組 (λ1 , λ2 , . . . , λs ) ̸= (0, 0, . . . , 0) が存在して
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λs xs = 0
となる．このとき，λs+1 = . . . = λr = 0 とおけば，(λ1 , . . . , λs , λs+1 , . . . , λr ) ̸= (0, . . . , 0, 0, . . . , 0) で
λ1 x1 + · · · + λs xs + λs+1 xs+1 + · · · + λr xr = 0
したがって，x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xr は一次従属．
(2) xi = 0 と仮定する．このとき，λi = 1, λj = 0 (j ̸= i) とおけば，(λ1 , λ2 , . . . , λr ) ̸= (0, 0, . . . , 0) で
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr = 0
したがって，x1 , x2 , . . . , xr は一次従属．
(3) x1 , x2 , . . . , xr−1 が一次従属なので，
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr−1 xr−1 = 0, (λ1 , λ2 , . . . , λr−1 ) ̸= (0, 0, . . . , 0)
となるような実数 λ1 , λ2 , . . . , λr−1 が存在する．したがって，λr = 0 とすれば，
(λ1 , λ2 , . . . , λr−1 , λr ) ̸= (0, 0, . . . , 0, 0)
で
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr−1 xr−1 + λr xr = 0
2
これから，x1 , x2 , . . . , xr−1 , xr は一次従属．
［５］
λ1 x1 +λ2 x2 +· · ·+λr xr = 0 となるように (λ1 , λ2 , . . . , λr ) ̸= (0, 0, . . . , 0) を取る．λi = 0 と仮定すれば，
(λ1 , . . . , λi−1 , λi+1 , . . . , λr ) ̸= (0, . . . , 0, 0, . . . , 0) で λ1 x1 + · · · + λi−1 xi−1 + λi+1 xi+1 + · · · + λr xr = 0．
これは，x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xr が一次独立であることに反する．これから，各 i に対して λi ̸= 0．
次に，λ′1 x1 + λ′2 x2 + · · · + λ′r xr = 0 となるように (λ′1 , λ′2 , . . . , λ′r ) ̸= (0, 0, . . . , 0) を取る．ここで，
λ1 ̸= 0 なので，cλ1 = λ′1 となるような実数 c が存在する．このとき，
(cλ2 − λ′2 )x2 + · · · + (cλr − λ′r )xr = 0
ここで，x2 , . . . , xr が一次独立なので，cλ2 − λ′2 = 0, . . . , cλr − λ′r = 0．これから，λ1 : λ2 : · · · : λr =
λ′1 : λ′2 : · · · : λ′r
［６］
λ1 + λ2 + · · · + λr = 1 と仮定する．このとき，
λ1 (x1 − x) + λ2 (x2 − x) + · · · + λr (xr − x) = (λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr ) − (λ1 + λ2 + · · · + λr )x = 0
で (λ1 , λ2 , . . . , λr ) ̸= (0, 0, . . . , 0) なので，x1 − x, x2 − x, . . . , xr − x は一次従属．
逆に，x1 −x, x2 −x, . . . , xr −x が一次従属であると仮定すれば，実数の組 (µ1 , µ2 , . . . , µr ) ̸= (0, 0, . . . , 0)
が存在して
µ1 (x1 − x) + µ2 (x2 − x) + · · · + µr (xr − x) = 0
となる．したがって，µ = µ1 + µ2 + · · · + µr とおけば，
µx = µ1 x1 + µ2 x2 + · · · + µr xr
を得る．ここで，
x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr
なので，
(µ1 − µλ1 )x1 + (µ2 − µλ2 )x2 + · · · + (µr − µλr )xr = 0
さらに，x1 , x2 , . . . , xr が一次独立なので，
µ1 − µλ1 = µ2 − µλ2 = . . . = µr − µλr = 0
したがって，
µ − µ(λ1 + λ2 + · · · + λr ) = 0
ここで，µ = 0 と仮定すれば，各 i に対して µi = 0 となり，(µ1 , µ2 , . . . , µr ) ̸= (0, 0, . . . , 0) に反する．こ
れから，µ ̸= 0 を，さらに λ1 + λ2 + · · · + λr = 1 を得る．
［７］
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr = 0 (λ1 , λ2 , . . . , λr は実数) と仮定する．このとき，各 i に対して
xi ·(λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr ) = xi ·0 = 0
一方，j ̸= i なら xi ·xj = 0 なので，
xi ·(λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr ) = λ1 (xi ·x1 ) + λ2 (xi ·x2 ) + · · · + λr (xi ·xr ) = λi (xi ·xi )
3
これから，λi (xi ·xi ) = 0．ここで，xi ̸= 0 なので，xi ·xi > 0．したがって，各 i に対して λi = 0．以上
のことから，x1 , x2 , . . . , xr は上に一次独立．
別証．x1 , x2 , . . . , xr が一次従属であると仮定する．このとき，λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr = 0 となるよ
うな実数の組 (λ1 , λ2 , . . . , . . . , λr ) ̸= (0, 0, . . . , 0) が存在する．例えば，λi ̸= 0 と仮定する．このとき，各
j ̸= i に対して xi ·xj = 0 なので，
λi (xi ·xi ) = xi ·(λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr ) = xi ·0 = 0
となる．ここで，λi ̸= 0 なので，|xi |2 = xi ·xi = 0．これは xi = 0 に反する．
以上のことから，x1 , x2 , . . . , xr は一次独立．
［８］
(1)(2) x1 , x2 , . . . , xr が一次従属であると仮定すれば，
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λl xr = 0
となるような (λ1 , λ2 , . . . , λr ) ̸= (0, 0, . . . , 0) が存在する．ここで，
A(λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λr xr ) = λ1 Ax1 + λ2 Ax2 + · · · + λr Axr
なので，
λ1 Ax1 + λ2 Ax2 + · · · + λr Axr = 0
したがって，Ax1 , Ax2 , . . . , Axr もまた一次従属．
別証．Ax1 , Ax2 , . . . , Axr が一次独立であると仮定する．このとき，
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λr xr = 0 (λ1 , λ2 , . . . , λr は実数)
とすれば，
λ1 Ax1 + λ2 Ax2 + · · · + λr Axr = 0
なので，λ1 = λ2 = . . . = λr = 0．したがって，x1 , x2 , . . . , xr は一次独立．
(3) x1 = A−1 (Ax1 ), x2 = A−1 (Ax2 ), . . . , xr = A−1 (Axr ) なので，x1 , x2 , . . . , xr を Ax1 , Ax2 , . . . , Axr
として，A を A−1 として (2) を適用すれば，x1 , x2 , . . . , xr が一次独立なら Ax1 , Ax2 , . . . , Axr もまた一
次独立であることが示せる．
［９］
λ1 , λ2 , . . . , λn を実数とし，
λ1 x + λ2 (Ax) + · · · + λm−1 (Am−2 x) + λm (Am−1 x) = 0
と仮定する．両辺に Am−1 を掛けると，Am = Am+1 = . . . = O なので，λ1 (Am−1 x) = 0 を得る．ここで，
Am−1 x ̸= 0 なので，λ1 = 0．
さらに，λ1 = λ2 = . . . = λr−1 = 0 (r < m) と仮定すれば，
λr (Ar−1 x) + λr+1 (Ar x) + · · · + λm (Am−1 x) = 0
両辺に Am−r を掛けると，Am = Am+1 = . . . = O なので，λr (Am−1 x) = 0 を得る．ここで，Am−1 x ̸= 0
なので，λr = 0．
以上の議論から，λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 を得る．したがって，x, Ax, A2 x, . . . , Am−1 x は一次独立．
4

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