講義資料 14/09/22 三次方程式の根の公式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ̸= 0) の両辺を a で割って c d b x3 + x2 + x + = 0 a a a さらに， b c d ( b )3 ( c b2 )( bc b ) (d 2b3 ) x3 + x2 + x + = x + + − 2 x+ + − 2+ a a a 3a a 3a 3a a 3a 27a3 なので， 3ac − b2 b 27a2 d − 9abc + 2b3 , p= , q= 2 3a 3a 27a3 とおけば，三次方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 は t3 + pt + q = 0 の形に簡約化される． t=x+ α, β, γ を三次方程式 t3 + pt + q = 0 の根とする．このとき， α + β + γ = 0, αβ + βγ + γα = p, αβγ = −q √ √ −1 + 3i 2 −1 − 3i 2 ここで，ω, ω を 1 の立方根 ̸= 1，例えば，ω = ,ω = とし， 2 2 A = α + ω 2 β + ωγ, B = α + ωβ + ω 2 γ とおけば，1 + ω + ω 2 = 0 なので，α + β + γ = 0 と併せて α= A+B ωA + ω 2 B ω 2 A + ωB , β= , γ= 3 3 3 を得る．ここで， A3 + B 3 = (A + B)(ωA + ω 2 B)(ω 2 A + ωB) = 27αβγ = −27q, A3 B 3 = (AB)3 = (α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ − γα)3 = {(α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα)}3 = −27p3 なので， A3 B 3 p3 , は二次方程式 u2 + qu − = 0 の根．したがって，例えば， 27 27 27 √ √ √ √ 3 3 q q2 p3 B q q2 p3 A = − + + , = − − + 3 2 4 27 3 2 4 27 これから， √ √ √ √ 3 q q2 p3 q q2 p3 α= − + + + − − + , 2 4 27 2 4 27 √ √ √ √ 3 3 q q2 p3 q q2 β=ω − + + + ω2 − − + 2 4 27 2 4 √ √ √ √ 3 q p3 q q2 q2 2 3 γ=ω − + + +ω − − + 2 4 27 2 4 3 1 p3 , 27 p3 27 四次方程式の根の公式 α, β, γ, δ を四次方程式 t4 + pt2 + qt + r = 0 の根とする．このとき， α + β + γ + δ = 0, αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = p, αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = −q, αβγδ = r ここで， A = α + β − γ − δ, B = α − β + γ − δ, C = α − β − γ + δ とおけば， α= A+B+C A−B−C −A + B − C −A − B + C , β= , γ= , δ= 4 4 4 4 を得る．ここで， A2 + B 2 + C 2 = −8(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ) = −8p, A2 B 2 + B 2 C 2 + C 2 A2 = 16(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)2 − 64αβγδ = 16p2 − 64r, A2 B 2 C 2 = {8(αβγ + αγδ + αγδ + βγδ)}2 = (−8q)2 = 64q 2 (p A2 B 2 C 2 p r) q2 なので， , , は三次方程式 u3 + u2 + − u− = 0 の根． 16 16 16 2 16 4 64 2