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１ (問
1)　0x 21 -= 2x より，l の方程式は，y =2ax - a 2
C2 と l の方程式から y を消去して整理すると，
x 2 -2ax + a 2 =1 C 0x - a 1 2 =1 C x = a $ 1
よって，l と C 2 で囲まれた図形の面積は，
Q
a+1
Q
2
2
6 2ax - a - 0x - 11 7dx= a-1
a -1
a +1
Q
a +1
=-
a -1
<
=(問 2)　a=
0 x - a - 1 1 0x - a + 1 1dx
2
60 x - a 1 - 17 dx
1
x - a 13 - x
30
=
1
1
のとき，l：y = U 2 x 2
2
U
a+1
=
a-1
4
……（答）
3
C2 と C3 で囲まれた図形の面積を S1 とすると，
1
8
S1 =2
01 - x 1dx = 4 0 0 1 - x 1dx= 3
-1
Q
1
2
Q
1
l
y
C2
2
O
1
1
l と C 2 の交点は，x -1= U 2 x - C x =
$1
2
U2
1
-1
2
-1
1
1
3
，C x=
2
2
U
U2
l と C 3 の交点は，1- x 2 = U 2 x -
l と C 2 で囲まれた図形の面積を S2 とすると，(問 1)の結果より，S2 =
4
3
図の打点部の面積を S3 とおくと，
1
S3 =
QU >
1
2
1
=
1
2
U 2 x - 2 - 01 - x 1 dx +
3
x + U 2 x - dx +
2
Q 8
1
U2
?
9 Q
2
x3
2
3
=
+ U x2- x
3
2
2
<
1
1+
1
Q
1
U2
1+
1
U2
1
>
1
> 8
- x-
= < 8
1
U2
?
2
U2 x - 2 - 0x - 11 dx
1
1
+ - x3
U2
1
U2
2
9 +1?dx
3
9 =
+x
1+ 1
U2
1
よって，求める図形の面積は
S1 - 0 S 2 - S 31 = S 1 - S 2 + S3 =
=
8
4
5
2
- + U2 3
3
6
3
4 + 5U 2
……（答）
6
8
9
=
5
2
U2 6
3
1
U2
x
1
+1
U2
C3
２　(問
1) OP= aOA+ bOB+ cOC とおくと，
0 -3, 2, 2 1 = a0 1, 1, 1 1 + b0 3, 0, 1 1 + c0 1, 2, 0 1
より，
F
a + 3b + c = -3
a + 2c = 2
a +b =2
これを解いて，a =4 ，b =-2 ，c =-1
よって，a + b + c =1 が成り立ち，点 P は平面 H 上にある．（証明終）
(問 2) AB= 0 2, -1, 0 1 ，AC= 0 0, 1, -1 1
求める点を R とし，OR= xOA+ yOB+ zOC とおく．
ただし，x + y + z =1 ……①
このとき QR が平面 H と垂直より，
QR= 0 x +3y + z -1, x +2z +3, x + y +4 1 は AB，AC と垂直である．
AB ･ QR=20 x +3y + z -1 1 - 0 x +2z +3 1 = x +6y -5=0 ……②
AC ･ QR= x +2z +3- 0 x + y +4 1 =2z - y -1=0 ……③
①，②，③を解いて，x =-1 ，y = z =1
よって，求める交点は，0 3, 1, 0 1 ……（答）
３　(問
1) 点 Y n から辺 BC に下した垂線と辺 BC の交点を W n 0 n =1, 2, 3… 1 とおくと，
X 1Y 1SCA より，
A
BY 1:Y 1A= BX 1:X 1C=1:8
BY 1 =AB %
1
2
=U
9
9
1
Y1
B
1
l 1 = Y 1W 1 = BY 1 ･ sin 45, = ……（答）
9
l1
W1
1
8
Yn
9 - 8l n
2
BY n =AB %
= U 09 -8l n1
9
9
9
9
= l117
17
9
8
9
=- l n 17
9
17
8
8
9
n -1
9
8 8
8
･
･ 9 17
9
98 9
8 9
9
8
8
+
+　l =
･ ……（答）
17
17 8 9 9
-
n
n
X n+1 X n
Wn
8
l +1 0 n ) 1 1 ……（答）
9 n
よって，
8
Zn
ln
B
1
l n+1 = Y nW n = BY n ･ sin 45, = 0 9 -8l n1
9
(問 3)　(問 2)の結果より，l n+1 -
=-
C
A
BY n:Y nA= BX n:X nC =9-8l n:8l n
l n -
X2
X1
(問 2)　X nC=8l n より，BX n =9-8l n
よって，l n+1 =-
Z1
n -1
=
8
8
･ 17
9
8 9
n
C
４　(問
1) f0 x 1 = x 3 + ax 2 + bx とおくと，f -0 x 1 =3x 2 +2ax + b
a，b は f -0 x 1 =0 の解より，2 次方程式の解と係数の関係より，
2
b
a + b =- a，ab =
3
3
3
a =- 0 a + b 1 ，b =3ab
2
3
f0 x 1 = x 3- 0 a + b 1x 2 +3abx
2
1
3
1
3
よって，f0 a 1 =- a 3 + a 2b ，f0 b 1 =- b 3 + ab 2 ……（答）
2
2
2
2
1
(問 2)　f -0 x 1 =30 x - a 10 x - b 1
a < b より，f0 x 1 の増減表は次のようになる．
x
…
a
…
b
…
f -0 x 1
+
0
-
0
+
f0 x 1
9
:
9
また，a < b <3a より，b > a >0 ，3a - b >0 が成り立ち
b2
f0 b 1 =
3a - b 1 >0
2 0
したがって，3 次方程式 f0 x 1 =-1 の実数解の個数は 1 個 ……（答）

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