実数値楕円関数を解とする微分方程式

実数値楕円関数を解とする微分
方程式
x  ax  bx  0, a  0, b  0
3
Akio Arimoto
Nov.2.2009
At Yamanashi Univ.
x  ax  bx  0, a  0, b  0
3
2 x  2ax  bx  E
2
2
4
 b  x  0  x  1  x  2  x  3 
 b  x  0  x  1  x  2  x  3 
c  a  Eb
2
ca
0 
b
ca
2  
b
1  i
ca
b
2つの実数根 2つの複素根（純虚数）
 3  i
ca
b
s  sn t, k 
ヤコビの楕円関数エスエヌ
c  cn  t , k   1  s 2  t , k 
c  s d  1  c
2
2
2
2
ヤコビの楕円関数シーエヌ
 1  k   k c 
2
2 2
 k 2   0   1   2   3 
2つの実数根 2つの複素根（純虚数）

c 2  s 2 d 2  1  c 2  1  k 2   k 2 c 2

 k 2   0   1   2   3 
0  1
1 k 2
1  i
k
2  1
1 k 2
3  i
k
x  ax  bx  0, a  0, b  0
3
この解を楕円関数で表そう
0 , 1 ,  2 , 3
0 , 1 , 2 , 3
一次変換により対応づける
Az  B
w
   z
Cz  D
AD  BC  0
1   0 3   2
0 ,1 , 2 ,3  
1   2 3   0
非調和比
0 ,1,2 ,3   0 , 1, 2 , 3 
i   i 
0 , 1 ,  2 , 3
0 , 1 , 2 , 3
 x,1,2 ,3    , 1, 2 , 3 
0 , x,2 ,3   0 , , 2 , 3 
0 ,1, x,3   0 , 1, , 3 
0 ,1,2 , x  0 , 1, 2 , 
 x,1,2 ,3    , 1, 2 , 3 
x  t   1  2  3   t   1 2  3

x  t   3 2  1   t   3 2  1
1   3  x  3   2    1  3    3   2 
2
2



 y   3   1 2    3   1   2 
4つの等式を掛け合わす
1  3   2   0  3   2  1   0  x 4
2
2
2
2
 x   0   x  1   x   2   x  3  1   2  3   0 
2
2
2
2
 1  3   2  0   3  2   1  0   4
2

2
2
2
2
  0    1     2    3   1   2   3   0 
2
2
2
2
2
2
2
補題 2.2
複素平面上の４点を複素平面上の他の４点に移す１次変換一次変換
  f  x
で結ばれていると仮定する。そのとき,
d
 
dt
dx
dt
について次式が成立する。
x
1  3   2   0  x 4
2
2
2
2
x


x


x


x



0 
1 
2 
3
2
2
1  3    2  0   4


2
2
2
2
  0    1     2    3 
2
2
2 x  2ax  bx  E
2
2
4
 b  x  0  x  1  x  2  x  3 

c 2  s 2 d 2  1  c 2  1  k 2   k 2 c 2

 k 2   0   1   2   3 
1   0  3   2  c  a  i c  a 
 
 0 , 1 ,  2 , 3  

1   2  3   0  c  a  i c  a 
1  0 3  2  k  i 1  k

 0 , 1 , 2 , 3  
1  2 3  0  k  i 1  k 2
2




2
2
 c  a  i c  a   k  i 1 k

  
2
c

a

i
c

a
k

i
1

k

 
2
ca
k 
1
2c
2
2




2
16  c 2  a 2  x 4
b  x   0   x  1   x   2   x   3 
2
2

2
16
2
ca 4 4
k
ca
1     1  k   k  
2 2
2
2
2
2
2
2x  b  x  0  x  1  x  2  x  3 
2
4
1     k   1  k 
2 2
2
2
2
  t   cn
2

 c2
ct , k


c  a 
ca
x

i



b
b



c  a 
ca
x

i



b 
b

ca
i
b
ca
i
b
 
1  k 2 
1 k 2
 1  i
  i
k
k


 
1  k 2 
1 k 2
  i
 1  i
 
k
k







2
ca
1 k
x i
 i
b 
k
2
ca
1

k
xi
 i
b
k
1 k 2
ca
x


k
b
定理
x  ax  bx  0, a  0, b  0
3
の解は任意
t0
x t   
1
 2

a 2  Eb  a
4
cn   a  Eb   t  t0  , k 
b


k 
2
について
a 2  Eb  a
2 a 2  Eb
ヤコビのsn 関数 s  sn t, k 
d
t

1   1  k  
2
2
2
の逆関数
t

d
1  2
 arcsin t
t
c  cn t, k 
c  1 s
d  dn t , k 
d  1 k s
2 2
2
s  cd
c   sd
d  k sc
2
s  c d  1  s
2
2
2
2
1  k s 
2 2
1
k
 0  1, 1  ,  2  1, 3  
c  s d  1  c
2
2
2
2
1
k
 1  k   k c 
2
2 2
i 1 k 2
i 1 k 2
0  1, 1 
, 2  1, 3  
k
k
d  k s c  1  d
2
4 2 2
2
  d  1  k 
2
2
s
u
c

u 2  1  u 2  1  k 2   u 2
4根とも複素根をもつ場合
sn  t , k 
u t  
cn  t , k 

定理
x  ax  bx  0, a  0, b  0
3
2 x  2ax  bx  E
2
2
x t   
E0
4
a 2  Eb  a
1
b
cn ct , k

k2 
a 2  Eb  a
2 a 2  Eb

定理
2 x  2ax  bx  E
2
2
4
a 2  Eb  0
の解は
a  c cn    t  t0  , k 
x t   
b sn    t  t0  , k 
,
4 
,
4Eb  c  a 
a  c
c  a2  Eb
k2 
2c
ca
定理
Eb  a 2
2 x  2ax  bx  E
2
2
4
の解は
c  a cn    t  t0  , k 
x t   
b sn    t  t0  , k 
,
,
4 
4Eb  c  a 
c  a
c  Eb  a2
k2 
2a
ca
参考文献
• 微分方程式入門古屋茂サイエンス社
• 楕円関数論竹内端三岩波全書
• 楕円関数入門戸田盛和日本評論社

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