ベクトルの外積 2007 鎌田 2つのベクトルを a, b を定義する。 a (ax , ay , az ), b (bx , by , bz ) b a ベクトル a, b の挟む角 を定義する。 a b ab cos axbx a yby azbz b a ベクトル a, b の作る平行四辺形の面 積 S を求める。 S ab sin ab 1 cos 2 a b b S a S ab sin ab 1 cos 2 ax bx a y by az bz ab 1 ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b b b ( a b a b a b ) x y z x y z x x y y z z S 2 S 2 ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2 (axbx a y by az bz )2 ax2bx2 ax2by2 ax2bz2 a y2bx2 a y2by2 a y2bz2 az2bx2 az2by2 az2bz2 (ax2bx2 a y2by2 az2bz2 2ax bx a y by 2ax bx az bz 2a y by az bz ) ax2by2 ax2bz2 a y2bx2 a y2bz2 az2bx2 az2by2 (2ax bx a y by 2ax bx az bz 2a y by az bz ) a y bz az by az bx axbz axby a y bx 2 2 2 新しいベクトル • ベクトルを次のように定義する。 c (aybz azby , azbx axbz , axby aybx ) • ベクトル a, b の作る平行四辺形の面積 クトル c の大きさになっている。 c S S がこのベ 外積 c a b の定義 a (ax , ay , az ), b (bx , by , bz ) c (a y bz az by , az bx a xbz , a xby a y bx ) i ax bx j ay by k az 行列式によ る 表現 bz 外積の性質 • 入れ替えると符号が逆転する。 a b=-b a • 同じベクトル同士は0になる。(a=bとすれば明らか) • 得られたベクトルcはaとb共に直交する。 c a b c a, c b 証明 c a b c a, c b • 内積を計算し0になればよい。 c a (a y bz az by , az bx axbz , axby a y bx ) (ax , a y , az ) ax (a y bz az by ) a y (az bx axbz ) az (axby a y bx ) ax a y bz ax az by a y az bx a y ax bz az ax by az a y bx 0 同様に、 c b 0 も 示せる 。 基底ベクトルの外積 • 基底ベクトルは、x軸、y軸、z軸に対して、次の3つが 定義されている。 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) • それぞれのベクトルの外積は、 i j k, j k i , k i j j i k , k j i , i k j となる。 外積の公式 ・スカラー3重積 a b c a b c c a b b c a a b c c a b b c a これは3つのベクトルの作る平行斜方体の体積となる。 ・ベクトル3重積 a b c (a c )b (a b )c 力学への応用 • 運動量 p は、質量 体に対して、 mで v の速度で動いている物 p mv と定義される。 • 角運動量 l は、外積を用いて、 l rp と書ける。但し、rは位置ベクトル。 力学への応用(2) • 物体に回転軸からrだけ離れた点 r に力 F が働い た場合の力のモーメント Nは次のように与えられる。 N r F • この時、回転の運動方程式は、 N と書ける。 dl dt
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