ベクトルの外積２００７鎌田２つのベクトルを a, b を定義する。 a  (ax , ay , az ), b  (bx , by , bz ) b a ベクトル a, b の挟む角  を定義する。 a  b  ab cos   axbx  a yby  azbz b  a ベクトル a, b の作る平行四辺形の面積 S を求める。 S  ab sin   ab 1 cos  2 a b b  S a S  ab sin   ab 1  cos 2   ax bx  a y by  az bz  ab 1    ax2  a y2  az2 bx2  by2  bz2       2 2 2 2 2 2 2 2 a  a  a b  b  b  ( a b  a b  a b )  x y z  x y z  x x y y z z  S 2 S 2   ax2  a y2  az2  bx2  by2  bz2   (axbx  a y by  az bz )2  ax2bx2  ax2by2  ax2bz2  a y2bx2  a y2by2  a y2bz2  az2bx2  az2by2  az2bz2 (ax2bx2  a y2by2  az2bz2  2ax bx a y by  2ax bx az bz  2a y by az bz )  ax2by2  ax2bz2  a y2bx2  a y2bz2  az2bx2  az2by2 (2ax bx a y by  2ax bx az bz  2a y by az bz )   a y bz  az by    az bx  axbz    axby  a y bx  2 2 2 新しいベクトル • ベクトルを次のように定義する。 c  (aybz  azby , azbx  axbz , axby  aybx ) • ベクトル a, b の作る平行四辺形の面積クトル c の大きさになっている。 c S S がこのベ外積 c  a  b の定義 a  (ax , ay , az ), b  (bx , by , bz ) c  (a y bz  az by , az bx  a xbz , a xby  a y bx ) i  aｘ bｘ j aｙ bｙ k aｚ行列式による表現 bｚ外積の性質 • 入れ替えると符号が逆転する。 a  b＝-b  a • 同じベクトル同士は０になる。（a=bとすれば明らか） • 得られたベクトルｃはaとｂ共に直交する。 c  a  b  c  a, c  b 証明 c  a  b  c  a, c  b • 内積を計算し０になればよい。 c  a  (a y bz  az by , az bx  axbz , axby  a y bx )  (ax , a y , az )  ax (a y bz  az by )  a y (az bx  axbz )  az (axby  a y bx )  ax a y bz  ax az by  a y az bx  a y ax bz  az ax by  az a y bx  0 同様に、 c  b  0 も示せる。基底ベクトルの外積 • 基底ベクトルは、x軸、y軸、ｚ軸に対して、次の３つが定義されている。 i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1) • それぞれのベクトルの外積は、 i  j  k, j k  i , k i  j j  i   k , k  j  i , i  k   j となる。外積の公式・スカラー３重積   a b  c  a b  c  c  a b  b c a  a b c  c a b  b c a これは３つのベクトルの作る平行斜方体の体積となる。・ベクトル３重積   a  b  c  (a  c )b  (a  b )c 力学への応用 • 運動量 p は、質量体に対して、 mで v の速度で動いている物 p  mv と定義される。 • 角運動量 l は、外積を用いて、 l rp と書ける。但し、ｒは位置ベクトル。力学への応用（２） • 物体に回転軸からｒだけ離れた点 r に力 F が働いた場合の力のモーメント Nは次のように与えられる。 N  r F • この時、回転の運動方程式は、 N と書ける。 dl dt