2. (b).1
k0 > 1 と仮定する2 . 時点 T = 0, 1, 2, . . . を一つ固定し, (kt )∞
t=0 を次のよ
うに定義する:
k0
α
kt :=
kt−1
0
if t > T
このとき (kt )∞
t=0 は制約式を満たし, {
0
ct =
αT +1
k0
if t ̸= T
if t = T
if t = 0
if t ≤ T
(1)
が成り立つ. この (ct )∞
t=0 で目的関数の値を評価したものを vT とおくと,
vT = δ T k¯0α
T +1
.
ここで
T +2
vT +1
δ T +1 k¯α
= T α0T +1
vT
δ k¯0
α
= δ k¯0
T +1
(α−1)
が成り立つから, T を十分大きく選べば (1) で定義した (kt )∞
t=0 を使って, 目
的関数にいくらでも大きな値を与えることができる. したがって, 最適解は存
在しない.
1 以下の議論は
∑
δα > 1 より弱い α > 1 という仮定の下で成り立つ
.
∑
∞
t α
¯α
0 ≤ 1 の時は, 任意の実行可能な (kt )t=0 に対し k0 −
t δ (kt
α
t
α
¯
t δ (kt+1 − δkt+1 ) ≥ 0 が成り立つので, 時点 0 で k0 消費し時点
2k
るのが最適になる.
1
¯α − kα ) +
− kt+1 ) = (k
0
0
1 以降の消費はゼロとす
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