京大文系数学　２０１５　解答例
% （30 点）
a ,b ,c ,d ,e を正の有理数として整式
f(x) = ax2 + bx + c
pp '
g=0
dn + e
である．ところが，p ,p' ,d ,e ,n は正の数より
pp '
>0
dn + e
g(x) = dx + e
を考える．すべての正の整数 n に対して
が成り立つので，
f( n )
は整数であるとする．このとき，
g( n )
f(x) は g(x) で割り切れることを示せ．
となるから，
g=0
である．
以上から，f(x) は g(x) で割り切れることが示された．
《解答》
2 次式 f(x) を 1 次式 g(x) で割った商を ax + b , 余りを g とすると，
a ,b ,g は有理数であり，
f(x) = g(x) (ax + b) + g
と表すことができる．
以下，g = 0 を示す．x > 0 において g(x) > 0 であるから，
g
f(x)
= ax + b +
g(x)
g(x)
である．
a ,b は有理数より，
a=
q
q'
,b =
（p ,p' は正の整数，q ,q' は整数）
p
p'
とおくと
f(x) q
q'
g
= x+
+
g(x)
p
p ' dx + e
となる．
f( n ) q
q'
g
= n+
+
g( n )
p
p ' dn + e
が整数であることから，これを pp' 倍した
p ' qn + pq ' +
pp '
g
dn + e
も整数である．p ,p' ,q ,q' ,n が整数なので，p'qn + pq' も整数である
から，
pp '
g
dn + e
も整数である．
| dn + e | > | pp'g |
を満たすような十分大きな n に対し常に
pp '
g <1
dn + e

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rkq d +

慶應義塾大文学部【小論文】解答例

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本科 ／ Z Study 解答解説編 ／ 難関国公立 理系数学 発展 見本

⑤      4 2 1 + - = x y ⑥ ＋ －   12 5 11 5 1 2 x x y + = ＋

部分的解説

，V [ ¯X] = σ k] E[X E[(Xk − µ)(X ` − µ)] = E[X k X` − µ X k − µ X ` + µ2

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