第2回（逆行列）

経済のための数理基礎２
数の積に逆数があるように、行列の積にも逆行列なるものが考えられる。
2
逆行列
実数 a に対し、その逆数 a−1 とは、aa−1 = a−1 a = 1 となる数である。もちろん、すべての数に対し
て存在するわけではなく、0−1 は存在しない。これを行列で考えると以下のようになる。
定義 2.1 (逆行列). 正方行列 A に対し、その逆行列 (inverse matrix) とは、
AX = XA = E
を満たす行列 X である。逆行列は常に存在するわけでなく、逆行列が存在するような行列を正則行列
(regular matrix) と呼ぶ。
注意 2.2. 逆行列が存在すれば、それは一意的である。つまり、A の逆行列が２つ X, Y として存在した
とすると、
X = XE = X(AY ) = (XA)Y = EY = Y
となる。よって逆行列を A−1 で表す。
定理 2.3. ２次の正方行列
(
A=
a b
c d
)
に対し、逆行列が存在するための必要十分条件は ad − bc ̸= 0 であり、
(
)
d −b
1
−1
A =
ad − bc −c a
である。
証明実際 AA−1 と A−1 A を計算してみればよい。
定理 2.4. 行列 A, B はともに正則行列とする。このとき、次が成り立つ。
1. 逆行列 A−1 も正則であり、(A−1 )−1 = A
2. A の転置行列も正則で、(t A)
−1
= t (A−1 )
3. 行列の積 AB も正則で、(AB)−1 = B −1 A−1
証明 1 は、AA−1 = A−1 A = E を A−1 を主体に見れば、A が A−1 の逆行列であることがわかる。2 は、
t
At (A−1 ) = t (A−1 A) = t E = E
t
(A−1 )t A = t (AA−1 ) = t E = E
であり。逆も
−1
なので、(t A)
= t (A−1 ) である。3 は演習。
1
例 2.5.
(
A=
(
1
=−
2
A
)
3 4
において、ad − bc = 4 − 6 = −2 であるため、
−1
1 2
)
−2
1
4
−3
命題 2.6. １つの行、あるいは１つの列の成分がすべて 0 である行列は正則でない。
証明 n 次正方行列 A = (aij ) の第 i 行がすべて 0 であるとする。すなわち、
ai1 = ai2 = · · · = ain = 0
とする。このとき、AX = E となる行列 X = (xij ) が存在したとする。このとき、AX の ii の成分は、
n
∑
aik xki = 0
k=1
であるが、E の ii 成分は 1 なので矛盾する。
定義 2.7. An = O を満たす自然数 n が存在するとき、A をべき零行列（nilpotent matrix）と呼ぶ。
例 2.8.
はべき零行列である。

0
1
0
0
0

A2 = 0
さらに、

1
0

0

1
0
0
0

 
0
0 1 0
0

 
1 0 0 1 = 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0

A3 = A2 A = 0

0

A = 0

1
0 1

0 0 0
0
0 0
 
0
0
 
1 = 0
0
0

1

0
0
0
0
0
0
0
0

0

0 = O
0
命題 2.9. べき零行列は正則でない。
証明演習。
命題 2.10. A をべき零行列とする。このとき、E − A は正則である。
証明 A がべき零行列なのである自然数 n に対し、An = O を満たす。
(E − A)(E + A + A2 + · · · + An−1 ) = E − An = E
であり、逆の掛け算も同様に E となるので、
(E − A)−1 = E + A1 + A2 + · · · + An−1
である。
命題 2.11. A が正則な対称行列である時、A−1 もまた対称行列である。
2
証明示すべきことは、t (A−1 ) = A−1 である。まず、AA−1 = E であることから、両辺の転置をとって
も同じである。
t
(AA−1 ) = t E
このとき、右辺は t E = E であり、左辺に積の転置行列の公式を用いて、
t
(A−1 )t A = E
A が対称行列であることから、t A = A なので、
t
(A−1 )A = E
である。このとき、両辺に右から A−1 をかけると、
t
(A−1 )AA−1 = EA−1
となり、これより、t (A−1 ) = A−1 を得る。
命題 2.12. A が正則な交代行列である時、A−1 もまた交代行列である。
証明演習。
3

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