解析学１ No.7 2006. 5.31 2.5 合成関数と微分積分担当：市原定理 9 (合成関数の導関数) 微分可能関数 y = f (x), x = g(t), および, その合成関数 y = f ◦ g(t) = f (g(t)) の導関数の間には, 次の関係が成り立つ. (f ◦ g)0 (t) = g 0 (t) · f 0 (g(t)) 例題 12 f (x) = 3x7 + 1, g(x) = x5 − 2 に対して, y = f ◦ g(x), y = g ◦ f (x) を微分しなさい. 定理 10 (置換による不定積分 (I)) 連続関数 y = f (x) と微分可能な関数 y = g(x) に対して, ∫ { } f (g(x)) · g (x) dx = 0 ∫ f (t)dt, ただし, t = g(x) が成り立つ. このように, 最初の変数を別の変数で置き換えて, 積分の計算することを置換積分法とよぶ. 定理 11 (置換による不定積分 (II)) x の連続関数を x = g(t) とすると, ∫ ∫ { } f (g(t)) · g 0 (t) dt f (x)dx = が成り立つ. 定理 12 (置換積分による定積分 (I)) 関数 t = g(x) が微分可能であり, x が a から b まで変化するとき, t は α から β まで変化するとする. このとき ∫ b f (g(x))g 0 (x)dx = a ∫ β f (t)dt α が成り立つ. 定理 13 (置換積分による定積分 (II)) 関数 t = g(x) が微分可能であり, x が a から b まで変化するとき, t は α から β まで変化するとする. このとき ∫ ∫ b β f (x)dx = a α が成り立つ. 7 f (g(t))g 0 (t)dt 解析学１ No.7 2006. 5.31 2.5 合成関数と微分積分担当：市原問題 13 次の関数を微分しなさい. (1) y = (2x + 1)10 ( 3− (2) y = 1 (x − 2)3 )2 問題 14 次の不定積分を計算しなさい. ∫ √ 5 (1) ∫ (2) x 2x + 4dx √ x2 + 1dx 問題 15 次の定積分を計算しなさい. ∫ 1 (2x + 1)3 dx (1) 0 ∫ 2 (2) 1 √ 2x dx 9 − x2 学籍番号氏名