(A, d), (B, d′ ) を距離空間とする. このとき、A × B 上で定義された関数 √ d′′ (a, b) = d′′ ((a1 , b1 ), (a2 , b2 )) = d(a1 , a2 )2 + d′ (b1 , b2 )2 とする. このとき d′′ は距離関数であることを示せ. まず, 距離関数の確認から. （私の確認なので, 不要なら読み飛ばしてください. ） d が X 上距離関数であるとは, ∀x, y, z ∈ X に対して d(x, y) ≥ 0 (1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (2) d(x, y) = d(y, x) (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (4) が成り立つことである. 以下, 特に断らない限り, ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ A × B とする. (1) について d, d′ が距離関数であることから, d(x1 , y1 ) ≥ 0, d(x2 , y2 ) ≥ 0 である. これより, d′′ (x, y) = √ d(x1 , y1 )2 + d′ (x2 , y2 )2 ≥0 が成り立つ. (2) について d, d′ が距離関数であることから, d(x1 , y1 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , d′ (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x2 = y2 である. これより, d′′ (x, y) = 0 ⇐⇒ √ d(x1 , y1 )2 + d′ (x2 , y2 )2 = 0 ⇐⇒ d(x1 , y1 ) = 0 かつ d′ (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 かつ x2 = y2 ⇐⇒ x = y が成り立つ. 1 (3) について d, d′ が距離関数であることから, d(x1 , y1 ) = d(y1 , x1 ) かつ d′ (x2 , y2 ) = d′ (y2 , x2 ) である. これより, d′′ (x, y) = = √ √ d(x1 , y1 )2 + d′ (x2 , y2 )2 d(y1 , x1 )2 + d′ (y2 , x2 ) = d′′ (y, x) が成り立つ. (4) について d, d′ が距離関数であることから, d(x1 , z1 ) ≤ d(x1 , y1 ) + d(y1 , z1 ), d′ (x2 , z2 ) ≤ d′ (x2 , y2 ) + d′ (y2 , z2 ) である. これより, d′′ (x, z) = √ d(x1 , z1 )2 + d′ (x2 , z2 )2 √ ≤ (d(x1 , y1 ) + d(y1 , z1 ))2 + (d′ (x2 , y2 ) + d′ (y2 , z2 ))2 √ √ ≤ d(x1 , y1 )2 + d′ (y1 , z1 )2 + d′ (x2 , y2 )2 + d′ (y2 , z2 )2 = d′′ (x, y) + d′′ (y, z) が成り立つ. ここで, 前述の計算の √ √ √ (a + b)2 + (c + d)2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 (a, b, c, d ≥ 0) を示す. 今, 両辺ともに非負であるので, √ √ √ (a + b)2 + (c + d)2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 √ √ ⇐⇒ (a + b)2 + (c + d)2 ≤ a2 + c2 + 2 a2 + c2 b2 + d2 + b2 + d2 √ √ ⇐⇒ 2ab + 2cd ≤ 2 a2 + c2 b2 + d2 ⇐⇒ (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d2 ) ⇐⇒ a2 b2 + 2abcd + c2 d2 ≤ a2 b2 + a2 d2 + b2 c2 + c2 d2 ⇐⇒ 2abcd ≤ a2 d2 + b2 c2 ⇐⇒ a2 d2 − 2abcd + b2 c2 ≥ 0 ⇐⇒ (ad − bc)2 ≥ 0 であり, 最後は成り立つので成り立つ. 以上より, d′′ は距離関数である. 2