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[２０１５・後] 線形代数（情報・応化）宿題３の補足
2015.10.22
1) 問 3(1) について
題意は,「a, b, c が一次独立である」という前提のもとで,
仮定:「s1 a + s2 b + s3 c = t1 a + t2 b + t3 c」=⇒ 結論:「s1 = t1 かつ s2 = t2 かつ s3 = t3 」
を証明することである. 間違いの解答でよく見られるものは, 以下のようなものである.
「s1 a + s2 b + s3 c = t1 a + t2 b + t3 c = 0 とおくと, a, b, c は一次独立なので, s1 a + s2 b + s3 c = 0
より s1 = s2 = s3 = 0 がいえて, t1 a + t2 b + t3 c = 0 より t1 = t2 = t3 = 0 がいえる. よって,
s1 = t1 = s2 = t2 = s3 = t3 となる. これで証明された.」
上の解答の間違いは,「s1 a + s2 b + s3 c = t1 a + t2 b + t3 c = 0」と, 問題の仮定を自分で勝手に増
やしている点にある. 問題の仮定は,「s1 a + s2 b + s3 c というベクトルと t1 a + t2 b + t3 c というベ
クトルが等しい」とまでしかいっておらず,「それらがゼロベクトルである」とまではいっていない.
よって, 問題の仮定のみからは, s1 = s2 = s3 = 0 や t1 = t2 = t3 = 0 は出てこない. 以上のことに
注意して解答例を読むこと.
なお, 本問で取り上げた命題は, 次のような問題を解決するときに頻繁に使われる (高校生のとき
によくやっていたことと思う).
△OAB において, 辺 OA を 2 : 1 に内分する点を C, 辺 OB を 3 : 2 に内分する点を D とし,
−→
−→
−→
線分 AD と線分 BC との交点を P とする. OA = a, OB = b, OP = p とするとき, p を a, b を用
問題
いて表せ.
(解答例) AP : PD = s : (1 − s) とおくと,
( )
−→
−→
−→
1
OP = (1 − s)OA + sOD
∴ p = (1 − s)a + 53 s b · · · ⃝
BP : PC = t : (1 − t) とおくと,
−→
−→
−→
OP = (1 − t)OB + tOC
∴ p = (1 − t)b +
(2 )
2
3t a · · · ⃝
1 ⃝
2 より,
よって, ⃝,
( )
( )
3
(1 − s)a + 53 s b = 23 t a + (1 − t)b · · · ⃝
が成り立つ. ここで, 平面ベクトル a と b は, △OAB を形成しているから平行でもなくゼロベクト
3 の式において係数比較ができて,
ルでもない. よって, a と b は一次独立である. ゆえに, ⃝
1 − s = 23 t かつ
3
5s
=1−t
が成り立つ. この連立方程式を解くと, s = 95 , t =
2
3
1 または⃝
2 にこの値を代入して,
となる. ⃝
p = 49 a + 31 b
を得る.
(終わり)
以上

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