じゃんけんの確率確率の分野でよく出題される問題の一つに「じゃんけんの問題」がある。実際に，身近にあるテーマであるじゃんけんを題材にした身近な問題には，生徒も興味深いようである。そこで，教科書にあるような問題だけでなく，次のような問題で興味・関心と思考力と高めるのもよいと思われる。［問題１］ n 人で１回じゃんけんをするとき，あいこになる確率を求めよ。（解答１）【勝利者数で場合分けして考える方法】余事象を考える。１人勝つ確率は， n 人の中から勝利者を１人選ぶ方法が n C1 通り，どの手で勝つかは３ 3 n C1 となる。 3n 3 C 3 C 同様に，２人勝つ確率は n n 2 ，３人勝つ確率は n n 3 ，……， (n  1) 人勝つ確率は 3 3 3 n C n 1 。 3n 通りあるので，よって，勝負がつく確率は， 3 n C1 3 n C2 3 n C3 3 C C  C  C   n C n 1      n n n 1  n 1 n 2 n n31 ……① n n n 3 3 3 3 3 n ここで，二項定理を用いると， n C 0  n C1  n C 2   n C n 1  n C n  2 より， n n C1  n C 2   n C n 1  2  2 であるので，①= したがって，あいこになる確率は， 1  （解答２） 2n  2 となる。 3 n 1 2n  2 3 n1 【勝敗がつく手の出し方のパターンを考える方法】余事象を考える。 n 人で１回じゃんけんをして勝負がつくのは，n 人の出す手がちょうど２種類になるときである。２種類の手の選び方は 3 C 2 通り，n 人が２種類の手を出す出し方は 2  2 通りあるので，勝負がつく n   C2 2 n  2 2 n  2  n1 となる。 3n 3 2n  2 よって，あいこになる確率は 1  n 1 3 確率は， 3 【参考】 n の値を増やしていくと，あいこになる確率は n の値あいこになる確率 3 1 (33.3%) 3 4 13 (48.1%) 27 5 17 (63.0%) 27 右の表のようになる。 … … - 1 - 10 18661 (94.8%) 19683 ［問題２］ n 人でじゃんけんをするとき，勝利者が１人以上出る（つまりあいこにならない場合）までの回数の期待値を求めよ。（解答）［問題１］より， n 人で１回じゃんけんをして勝敗がつく確率を p ，あいこになる 2n  2 2n  2 確率を q とおくと， p  n 1 ， q  1  n 1 。 3 3 求める期待値を E A n  とおくと，勝者が出る回数確率１２３・・・ k ・・・ p qp q2 p ・・・ q k 1 p ・・・より  E A n    kq k 1 p となる。 k 1 ここで， S  n  kq k 1 p とおく。 k 1 S  p  2qp  3q 2 p  4q 3 p    nq n 1 p …① qS  qp  2q 2 p  3q 3 p    n  1q n 1 p  nq n p …② ①－②より， 1  q S  p  qp  q 2 p  q 3 p    q n1 p  nq n p   p 1 qn   nq n p 1 q よって， S   p 1  qn 1  q  2   nq n p 1 q したがって， E A n   lim S  n  【参考】となる。 p 1  q 2 p 1 3 n1  2   n p 2 2 p n の値を増やしていくと，勝利者が１人以上出るまでの回数の期待値は右の表のようになる。勝利者が１人以上出るまでの回数 3 3 (1.5 回) 2 4 27 (1.93 回) 14 5 27 (2.7 回) 10 … … - 2 - n の値 10 19683 (19.3 回) 1022 ［問題３］（解答） n 人で１回じゃんけんをするとき，勝利者数の期待値を求めよ。 n 人で１回じゃんけんをして k 人勝つ確率を Pn, k  とおくと， 3 C C Pn, k   n n k  n n 1k ( 1  k  n  1 )となる。 3 3 求める期待値を E B n  とおくと， E B n   n 1  k P n, k   k 1 n 1  k n Ck 3 n1 k 1 1  3 n 1 n 1  k n Ck  k 1 n 3 n 1 n 1  n 1 C k 1 K 1 (  k n C k n n 1 C k 1 ) よって， 3 n 1 E B n  n1 C 0  n 1 C1  n1 C 2   n 1 C n 2  2 n 1  1 n n 1 (  二項定理より n 1 C 0  n 1 C1  n 1 C 2   n1 C n 2  n 1 C n 1  2 ) したがって， E B n   【補足】 k n C k n n 1 C k 1 [証明]   n 2 n1  1 3 n 1 についての説明 (左辺)= k n C k  k n! n  1! n n C =(右辺) k !n  k ! k  1!n  1  k  1! n1 k 1 感覚的な説明ではあるが，ア (左辺)は， n 人の中から k 人の委員を選び，その k 人の委員の中から１人の委員長を決める場合の数イ (右辺)は， n 人の中から委員長を１人選び，残りの n  1 人の中から k  1 人の委員を決める場合の数アとイは同じ操作だから，k n C k n n 1 C k 1 である，と説明すると生徒も理解しやすいだろう。 - 3 -