Linear Algebras Problem Set 3 Answers, July 2014 [1] 既に講義でカバーしたように、教科書 p. 72 問８を空間内における平面に対して考察すると、与えられた３点をとおる平面の方程式は x y z 1 0 2 1 1 =0 3 −1 1 1 −2 1 −3 1 で与えられる。行列式を展開して 12x + 12y − 9z − 15 = 0 を得る。簡略化して 4x + 4y − 3z = 5。 [2] ３直線が一点で交わる必要十分条件は 2 a −8 4 a − 1 −2 = 0。 a −5 7 行列式を展開して −2(a2 + 18a − 63) = 0. これを解いて a = 3, −21. 別解 2x + ay = 8, 4x − y = 2 を連立して解くと x = a· 4+a 1+2a , y = 14 1+2a 。この点が第３の直線に載ってる訳だから 4+a 14 −5· = −7 1 + 2a 1 + 2a これを整理して a2 + 18a − 63 = (a + 21)(a − 3) = 0 [3] 求める平面の方程式を ax + by + cz = 0 とする。（原点を含むことから、定数項がゼロであることに注意）この平面が与えられた２つの平面の交線を含むということは、つぎの連立方程式の解の自由度が１、すなわち一般解が 1 つのパラメーターで表されるということと同値になる。   +z = 1  x −3y 3x +y −5z = −3   ax +by +cz = 0 これは次の行列の階数が２であることと同値である。   1 −3 1 1   1 −5 −3   3 a b c 0 行に関する基本変形を施して    1 −3 1 1 1    −→ 3 1 −5 −3    0 a b c 0 0  −3 1 1  1 −4/5 −3/5  0 A B ただし A = (c − a) + 45 (b + 3a), B = −a + 53 (b + 3a)。rank = 2 となる必要十分条件は A = B = 0。これを解いて一般解は a = 3k, b = −4k, c = −k 、ただし k 6= 0。したがって例えば k = 1 とすればよい。 1 [4] x+1 y−2 = =z=t −2 5 とおいて、直線のパラメーター表示 x = −1 − 2t, y = 2 + 5t, z = t を得る。これを平面の方程式に代入して −6t − 6 = 0。よって t = −1。これから x = 1, y = −3, z = −1 を得る。 [5] (A, B) 8 (1) (A, B) = 8。 (2) cos−1 = cos−1 ( ) ||A||||B|| 9   −2 √   (3) A × B =  3 。 (4) 17 −2 [6] [7]      1 −1 8 −−→    −→   −−→ −→  (1) P Q =  1  , P R =  3 。P Q × P R =  4 。よって 4 −1 −3  √  2/ 6 −−→ −→ PQ × PR  √  N = ± −−→ −→ = ±  1/ 6 。 √ ||P Q × P R|| 1/ 6 √ −−→ −→ (2) ∆P QR = 12 ||P Q × P R|| = 2 6。  公式を適用して, d= |3 · 1 + 2 · 1 + 6 · 3 − 6| 17 √ = 7 9 + 4 + 36 [8]   1 (X, a) 2+1 3  TX = a= a =  −1  (a, a) 1+1 2 0     1 2     [9] 平面 x + y = 1, 2x + y − 2z = 2 に垂直なベクトルとしてそれぞれ u =  1  , v =  1  がとれる。 0 −2 よって 1 2+1 cos θ = √ √ = √ 2 9 2 したがって, θ = π4 . [10] 点 P, Q, R の定める平面の方程式は x y z 1 1 −1 2 1 0= = −9x + y + 7z − 4 2 1 3 1 −1 2 −1 1 点 S はこの方程式を満たす。よって４点は同一平面上に在る。 2