自然変換・関手圏 alg-d http://alg-d.com/math/ 2014 年 10 月 5 日定義. C, D を圏，F, G : C −→ D を関手とする．F から G への自然変換 θ とは，D の射の族 θ = {θc : F c −→ Gc}c∈C であって，C の任意の射 f : c −→ d に対して次が可換となるものである． Fc θc Gc Ff Fd Gf Gd θd F から G への自然変換 θ を，記号で θ : F =⇒ G と表す． C, X を圏，F, G, H : C −→ X を関手とする．θ : F =⇒ G と η : G =⇒ H を自然変換とする． F θ C η G $ / :X H このとき，この自然変換を合成することができる．その為には自然変換 η ◦ θ を，c ∈ C に対して (η ◦ θ)c := ηc ◦ θc で定めればよい．(この合成を垂直合成と呼ぶ．) この合成により，対象を関手 C −→ X ，その間の自然変換を射とすれば圏となる．この圏を関手圏といい X C と書く． H : C −→ D を関手とする．そのとき，圏 X に対して対応 Ob(C X ) −→ Ob(DX ) が F F H 合成 (X − → C) 7−→ (X − → C −→ D) により得られる．実は，これは関手になる．それを示すため，自然変換 F =⇒ G に対して自然変換 H ◦ F =⇒ H ◦ G を定義しよう．その為 1 には自然変換 Hθ : H ◦ F =⇒ H ◦ G を (Hθ)c := H(θc ) により定めればよい． F X θ H◦F ( /D H 6C X G Hθ +3 D H◦G これにより H : C X −→ D X が関手になることは容易に分かる．同じようにして，関手 H −1 : X D −→ X C も定義できる．これは F ∈ X D に対して H −1 (F ) := F ◦ H として，自然変換 θ : F =⇒ G に対して自然変換 H −1 (θ) = θH : F ◦ H =⇒ G ◦ H を (θH )c := θHc として定めればよい． F C H /D θ F ◦H ( 6X C G θH G◦H これらを使うと，様々な自然変換を合成することができる．例. 次の θ : F2 =⇒ F1 ◦ F0 と η : F4 ◦ F1 =⇒ F3 を合成する． F3 / C3 C1 J : : JJ η KS t F0 tt KS t t t J t t θ J F1 J$ tt F4 tt / C0 C2 F2 まず θ と F4 から自然変換 F4 θ を得る． J C tt JJJ F ◦F ◦F t tu: : 3 t J t 4 1 0 t J t KS JJ u t JJ tttutuu ttt Jttuu F4 θ C0 uu F4 ◦F2 次に η と F0 から自然変換 ηF0 を得る． F3 ◦F0 C0 / KS utuJJ C u u t JJJ ηF0 t: 3 t ututtt J t u ututt F4 ◦F1 ◦F0JJJJ tttt Jtt これらを垂直合成して F3 ◦F0 / KS u ututtJJJJ ηF u :C 0 : 3 utt t J t u u J t S K u u t J t u JJ ututt JJ tttutuu F4 θ u t C0 uu F4 ◦F2 2 3+ X 自然変換 ηF0 ◦ F4 θ : F4 ◦ F2 =⇒ F3 ◦ F0 が得られた．例. 次の自然変換 θ と η を合成する． F0 C0 θ G0 ( 6 C1 F1 η ( 6 C2 G1 まず θ と G1 から自然変換 G1 θ を得る． G1 ◦F0 6: C2 C0 G1 θ G1 ◦F1 次に η と F0 からて自然変換 ηF0 を得る． G0 ◦F0 C0 ηF0 $ 6 C2 G1 ◦F0 これにより，合成 G1 θ ◦ ηF0 : G0 ◦ F0 =⇒ G1 ◦ F1 を考えることができる． G0 ◦F0 ηF0 C0 G1 θ $ 6: C2 G1 ◦F1 この合成を水平合成と呼ぶ．この水平合成について，今は G1 θ ◦ ηF0 を考えたが，ηF1 ◦ G0 θ を考えることもできる． G0 ◦F0 G0 θ C0 ηF1 ($ : C2 G1 ◦F1 この二つの合成は一致する．実際，c ∈ C0 に対して G1 θc ◦ ηF0 c = ηF1 c ◦ G0 θc を示せば 3 よいが，それは射 θc : F0 c −→ F1 c について η : G0 =⇒ G1 の自然性から G0 F0 c ηF0 c G 0 θc G0 F1 c / G1 F0 c G1 θc ηF1 c が可換となることにより従う． 4 / G1 F1 c