微分積分学II 第5回目レポート課題解答例

微分積分学 II 第 5 回目レポート課題解答例
2015 年 11 月 9 日出題
5-1
(a) 関数 f の y に関する偏導関数は
∂f
(x, y) = −2x2 cos y sin y − 2 cos(2y)
∂y
であり，点 (1, 0) を代入することで
∂f
(1, 0) = −2 ̸= 0
∂y
を得る．よって，陰関数定理より，1 を含む開区間で定義された関数 y = φ(x) が存在して，φ(1) = 0
かつ f (x, φ(x)) = 0 を満たす．
具体的な形を求めるためには，
f (x, y) = x2 cos2 y − sin(2y) − 1 = 0
を y について解けばよい．式変形をすることで
1 + sin(2y)
cos2 y
1
sin y
=
+2
cos2 y
cos y
x2 =
= 1 + 2 tan y + tan2 y = (1 + tan y)
2
を得る．これより
1 + tan y = ±x
となるが，y = 0 のときに x = 1 となるのは正の符号の方である．よって，求める陰関数 φ(x) と
して以下を得る．
y = φ(x) = tan−1 (x − 1)
∗ tan−1 は tan の逆関数．逆数ではない．
(b) 関数 f の x に関する偏導関数の (1, 0) における値は，
!
∂f
!
(1, 0) = 2x cos2 y !
=2
∂x
(x,y)=(1,0)
である．一方，y に関する偏導関数の (1, 0) における値は (a) で既に求めている．以上より，
∂f
(1, 0)
2
φ′ (1) = − ∂x
=−
= 1
∂f
−2
(1, 0)
∂y
を得る．なお，具体的な φ の形に基づいて計算すれば，逆関数の微分法より
!
dφ
!
(1) = cos2 (tan−1 (x − 1))!
= cos2 (0) = 1
dx
x=1
となり，当然一致する．
1
5-2
(a) 不等式 (∗) に (x, y) = (1, 0) を代入すると，
a≥0
を得る．(1, 0) は (0, 0) ではないため，等式が成り立ってはいけない．よって，A が正定行列であ
れば，a > 0 でなければならない．
!
(b) (∗′ ) 式の左辺を平方完成すれば
b
c
b
b2
b2
c
x2 + 2 xy + y 2 = x2 + 2 xy + 2 y 2 − 2 y 2 + y 2
a
a
a
a
a
a
!
"2
b
ac − b2 2
= x+ y +
y
a
a2
となる．今，(∗′ ) 式が成り立ち，等号成立は (x, y) = (0, 0) に限られると仮定する．任意に選んだ
y ̸= 0 に対して x = −by/a とすると，平方完成の式より
ac − b2 2
y > 0 ⇐⇒ ac − b2 > 0
a2
を得る．逆に ac − b2 > 0 を仮定すると，平方完成の式より，(∗′ ) 式が成り立ち，等号成立は
b
x=− y
a
かつ
y=0
の場合に限られることが分かる．つまり，等号成立のためには (x, y) = (0, 0) でなければならな
い．以上より，a > 0 のもとで，(∗′ ) が成り立ち，等号成立が (x, y) = (0, 0) に限られるための必
要十分条件は，ac − b2 > 0 となることである．
!
(c) 行列 A が負定行列となる必要十分条件は，−A が正定行列となる必要十分条件と等しい．行
列 −A に Sylvester の判定条件を適用すると
−a > 0,
(−a)(−c) − (−b)(−b) = ac − b2 > 0
を得る．つまり，以下が成り立つ．
A が負定行列 ⇐⇒ a < 0 かつ ac − b2 > 0
なお，A が準正定行列でも準負定行列でもない場合，
%
&% &
#
$ a b
x
= ax2 + 2bxy + cy 2
x y
b c
y
の値は (x, y) の値によって正になったり負になったりする．そのような行列は，符号が定まらない
と言う意味で不定であると言う．例えば，a = 1, b = 0, c = −1 とすれば，(x, y) = (1, 0) に対して
ax2 + 2bxy + cy 2 = 1 > 0 であり，(x, y) = (0, 1) に対して，ax2 + 2bxy + cy 2 = −1 < 0 となる．
2

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