レポート課題（10 月 23 日出題）の解答例とコメント V の次元を n とおけば，基底の変換の行列 A は n 次正方行列である．Q は基底なので一次独立であり，1 次結合 Qx が ⃗0 になるのは x = 0 の時に限る．基底の変換 Q = PA について問題 1.9 Qx = (PA)x = P(Ax) となるが，Ax = 0 なら Qx = ⃗0 であり x = 0 を得る．同次連立 1 次方程式 Ax = 0 の解は 0 のみであり，A の階数は n となる．すなわち A は正則である．逆に A が正則であるとする．Q の 1 次結合 Qx が ⃗0 になったとすれば Qx = P(Ax) = ⃗0 であり P が 1 次独立であることから Ax = 0 を得る．A は正則なので x = 0 であり Q は 1 次独立である．Q の生成する空間は n 次元なので V と一致する．すなわち Q は V の基底である．【コメント】 • 前半は Q を P に変換する行列 P = QB を用いて P = QB = (PA)B = P(AB) より AB = E としても良い．ただしこの式から AB = E を導くためには P の一次独立性が必要である．例えば AB の第 j 列を c j とすれば ⃗p j は P の係数 c j による 1 次結合である．1 次結合としての表し方は一通りなので c j は第 j 基本列ベクトルでなくてはならない．このことから AB = E を得る． • 後半は Q = PA の 1 次独立性しか示していない答案がある．基底であることを示すには 1 次独立と生成するの 2 つを言う必要がある． • テキスト 7 ページ 3 行目の図式は Q = PA であれば成り立つ．P が基底であることと ΦP が全単射であることが同値（命題 1.5）であり，A が正則であることと A をかける線形写像が全単射であることは同値である．また全単射であることと逆写像をもつもことも同値だ．以上から 3 つのうち 2 つが全単射なら残りの 1 つも全単射であるということが分かる．問題 1.14 同値関係の定義から [x] = {y ∈ R3 | y ∼ x} = {y ∈ R3 | y − x ∈ W} であるが w = y − x ∈ W とおくことにより [x] = {x + w | w ∈ W} と表せる．これは平面 W を x だけ平行移動した平面になる．【コメント】 • 座標空間 R3 内の話なので解答例のように図形的に考えてほしかった．同値類の定義を書いただけではつまらない．