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2015 早稲田大学社会科学部数学解答例
１
cos 3θ = 4::::::::::::::
cos3 θ − 3 cos θ
（１）
3
f (x) = x3 − x について
4
（２）（i）
3
f ′ (x) = 3x2 −
4
(
)
1
2
=3 x −
4
1
f ′ (x) = 0 のとき x = ± である．これより，増減表およびグラフは次のようになる．
2
（ii）
···
1
2
···
0
−
0
+
1
4
↘
−
x
···
−
f ′ (x)
+
f (x)
↗
1
2
1
4
↗
グラフより，k の値の範囲は
1
1
≦k≦
4
4
::::::::::
−
となる．
f (x) =
1
1
となる x で，x ̸= − であるものを考
4
2
える．
3
1
x3 − x =
4
4
)2
(
1
(x − 1) = 0
x+
2
より x = 1 を得る．
同様に，x3 −
1
3
x = − より x = −1 を得る．よって，グラフより，共有点の x 座標のとる値の範囲は
4
4
−1 ≦ x ≦ 1 である．
::::::::::
（３）
x = cos θ を代入して
1
3
cos θ =
4
8
1
cos 3θ =
2
cos3 θ −
0 ≦ 3θ ≦ 3π より，
π 5
7
， π， π
3 3
3
π 5
7
θ = ， π ， π
9 9
9
::::::::::
3θ =
である．
２
b
は円の中心と原点を通る直線の傾きである．ここで，直線 y = kx が x 軸の正の方向とのなす角を
a
π
θ (0 ≦ θ < π) とすると，0 < k < 1 より 0 < θ < である．
4
(
)
1
2 つの直線に接する円の中心は 2 つの直線のなす角の二等分線上に存在する．いま，k · −
= −1 より，
k
2 つの直線は垂直に交わる．a > 0，b > 0 と 0 < k < 1 より，点 (a，b) は直線 y = kx を原点中心で反時計
(
π
π
π
π)
π
は存在するので
回りに回転した直線上にある． < θ + < より，tan θ +
4
4
4
2
4
（１）
(
b
π)
= tan θ +
a
4
π
4
=
π
1 − tan θ · tan
4
1+k
=
1−k
:::::
tan θ + tan
である．
（２）
直線 kx − y = 0 と点 (a，b) の距離が半径 r に等しいので，b =
r=
=
=
=
1+k
ka −
a
√ 1−k
1 + k2
(
)
k − k 2 a − (1 + k)a
√
(1 − k) 1 + k 2
(
)
− 1 + k2 a
√
(1 − k) 1 + k 2
√
1 + k2
a
1−k
:::::::::
である．
1
（３） k = のとき，r =
3
√
10
a，b = 2a なので
2
(√
2
2
(p − a) + (p − 2a) =
10
a
2
)2
5 2
a
2
5a2 − 12pa + 4p2 = 0
2p2 − 6pa + 5a2 =
(5a − 2p) (a − 2p) = 0
(
したがって，(a，b) = (2p，4p) ，
)
2
4
p， p である．
5
5
:::::::::::::::::::::
1+k
a とあわせて
1−k
３
（１）
n
∑
(k + 1)(k + 2)
3k−1
k=1
ak = − 1 (2n + 1)(2n + 3)
4
······⃝
1
⃝
1 で n = 1 とすると
2·3a =−1 ·3·5
1
4
30
a1 = − 5
8
を得る．
n ≧ 2 のとき，⃝
1 より，
n−1
∑
k=1
(k + 1)(k + 2)
ak = − 1 (2n − 1)(2n + 1)
4
3k−1
······⃝
2
となる．⃝
1 −⃝
2 より
{
}
(n + 1)(n + 2)
1 (2n + 1)(2n + 3) − − 1 (2n − 1)(2n + 1)
a
=
−
n
4
4
3n−1
= −(2n + 1)
an = −
(2n + 1)3n−1
(n + 1)(n + 2)
を得る．したがって，

5


− 8
an =
(2n + 1)3n−1


−
(n + 1)(n + 2)
(n = 1)
(n = 2，3，4，· · · )
::::::::::::::::::::::::::::::::::
である．
1
= 1 − 1 と変形できる．したがって
(k + 1)(k + 2)
k+1
k+2
n
n (
)
∑
∑
1 − 1
n
1
S=
=
= 1 − 1 =
(k + 1)(k + 2)
k+1
k+2
2
n+2
2(n + 2)
（２）（i）
k=1
k=1
::::::::
である．
（ii）
k ≧ 2 のとき，ak = −
k−1
k
(2k + 1)3k−1
= 3
− 3
と変形できる．
(k + 1)(k + 2)
k+1
k+2
よって，n ≧ 2 のとき
Q=
n
∑
k=1
ak = a1 +
n
∑
ak
k=2
=−5 +
8
)
n (
∑
3k−1 − 3k
k+1
k+2
k=2
1
n
=−5 + 3 − 3
8
3
n+2
n
3
3
=
−
8
n+2
::::::::::
である．

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