-→ OA と -→ 2. A = ( 3 -1 5 1 2 -2 ) ,B = ( 1 2 -1 3

「線形代数 I」練習問題 2014.6
−→
−→
1. 空間の３点 O(0, 0, 0), A(1, −2, 1), B(3, 4, −1) に対して，OA と OB の内積の値を求めよ．
また，三角形 OAB の面積を求めよ．
(
)
(
)
3 −1
5
1
2 −1
2. A =
,B =
のとき，和 A + B と積 tAB, AtB を求めよ．
1
2 −2
3 −2
4
ただし，t A は行列 A の転置行列を表す．
3. (i, j) 成分が 2i − j の３次正方行列 A を求めよ．さらに，A2 を計算せよ． 4. 次の行列を階段行列に変形し，その階数（rank）を求めよ．




1 2 −1 3 0
1 a a

 2 1
1
0 3 



(3)  1 1 a  （a は定数）
(1) 

 1 −1 2 −3 3 
1 1 1
3 0
3 −3 6

x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 1



 x + 2x + 3x + 10x = 5
1
2
3
4
が，解を持つように定数 a の値を定め，
5. 連立１次方程式
 2x1 + 4x2 + 3x3 + 11x4 = 4



x1 + 2x2 + 2x3 + 7x4 = a
その時の一般解を求めよ．
6. 次の等式をみたす行列
X を求めよ．
(
)
(
)
1 −1
1
2 0
X=
2
3
3 −1 1
7. 次の行列の逆行列を求めよ．

(1)




1
1
0

1 −1 −1 
−1 −2
1
(2)




1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0





8. A2 = O （零行列）となる正方行列 A は正則でないことを証明せよ．
[解]
⃗ · OB
⃗ = −6，面積は
1. OA
(
2. A + B =
4 1 4
4 0 2
)
√
30


6
4
1

t AB = 
9 
 5 −6
−1 14 −13
(
A tB =
−2 31
7 −9
)




1 0 −1
−4 −4 −4




3. A =  3 2
1  A2 =  14
8
2 
5 4
3
32 20
8
4. (1) rank = 2
5. a = 3

x1
 x
 2

 x3
x4
(2) a = 1 のとき rank = 1， a ̸= 1 のとき rank = 3
のとき解があって
 





−1
−1
−2
  0 
 0 
 1 
 





=
+
k
+
ℓ
 




 （k, ℓ は任意の定数，他の表し方もある）
  2 
 −3 
 0 
0
1
6. X =
5
(

6
5 1
1 −5 1
1
0
)

3
1
1
1

7. (1)  0 −1 −1 
3
3 −1
2



(2) 

0
0
−1
1
0
1
1 −1
0
1
1
0
0
0
0 −1





8. A が正則であるとすると，逆行列 A−1 が存在する．A2 = O の左から
A−1 を掛けると，A = O となり，O は正則でないから矛盾．従って A は正則でない．

Download Report