スマート解法線形代数修正箇所一覧

スマート解法線形代数修正箇所一覧 (2015.8.11)
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目次
p.v 付録行列の種類
(誤) 2 章末問題 A 7→ (正) 2 章末問題 B
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p.33 「拡張行列が，階段行列であることを確認する」
を囲んでいる枠の左と上が点線になっている (製版ソフトのバグ．元の原稿は正しい)
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p.43 解説 (後退代入)
(誤) 基本変形は順に「1 行 + 3 × 3 行」，「1 行 + (2) × 2 行」
7
→
(正) 基本変形は順に「1 行 + 3 × 3 行」，「1 行 + (−2) × 2 行」
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p.49 解説
(誤) 例 26 では，(1, 3) 成分にも文字式 2a + 7 がありますが，ピボットの位置ではないので 2a + 7 が 0 か
どうかは考える必要はありません．
7→
(正) 例 26 では，(1, 3) 成分にも文字式 4a + 7 がありますが，ピボットの位置ではないので 4a + 7 が 0 か
どうかは考える必要はありません．
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p.52 問題 A31 (2).




3 2 1
3 2 1
(誤)  1 0 −2 . 7→ (正)  1 0 2 .
5 1 −3
5 1 −3
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p.59 
例題 11.

2x + ay = 4
x + 2y = a
(誤)
7→ (正)
6x + 5y = 7
3x + 6y = 7
(誤) 7 − 3a ̸= 0 のとき，拡張行列の階数 = 2 < 3 = 係数行列の階数となり，解なし．
7 − 3a ̸= 0 のとき，拡張行列の階数 = 1 = 係数行列の階数となり，解は存在する．
7→
(正) 7 − 3a ̸= 0 のとき，拡張行列の階数 = 2 > 1 = 係数行列の階数となり，解なし．
7 − 3a = 0 のとき，拡張行列の階数 = 1 = 係数行列の階数となり，解は存在する．
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p.63 (
定義 25 (基本行列)
)
(
)
行 + k × j 行 P (i, j)A . 7→ (正) A i 行 + k × j 行 P (i, j; k)A .
(誤) A i−−
−−−−−−−−→ n
−−−−−−−−−−→ n
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p.69 注 63
(誤) 3 行 + 2 × 1 行 7→ (正) 3 行 + 1 行
−−−−−−−−−−→
−−−−−−−→
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p.71 問題 A37 (4)








3 −4 1
3 −4 1
3 −4 1
3 −4 1
(誤)  6 1 2  2 行 + (−2) × 1 行  0 9 5  . 7→ (正)  6 1 2  2 行 + (−2) × 1 行  0 9 0  .
−−−−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−−−−→
0 5 0
0 5 0
0 5 0
0 5 0
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p.87 問題 A45 (4)
3 4 −4 1 4
0 (旧) 1 4 0 . 7→ (差し替え) 3 13 −16 .
2 5 4 2 5
4 .................................................................................................
p.93 例 46
(誤) とすると，σ(1) = 3, σ(1) = 4, σ(1) = 1, σ(1) = 2 なので，
7→
(正) とすると，σ(1) = 3, σ(2) = 4, σ(3) = 1, σ(4) = 2 なので，
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1 列↔3 列
1 列↔2 列
p.97 例 48 (誤) ======= 7→ (正) =======
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p.100 n 次の行列式の余因子展開
j 列に関する余因子展開
(誤)
|A| =
n
∑
(−1)i+j aij |Aij | = (−1)1+j a1j |A1j | + · · · + (−1)i+j aij |Aij | + · · · + (−1)n+j ain |Anj |.
i=1
7→
(正)
|A| =
n
∑
(−1)i+j aij |Aij | = (−1)1+j a1j |A1j | + · · · + (−1)i+j aij |Aij | + · · · + (−1)n+j anj |Anj |.
i=1
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p.104 例 52
(
)
(
)
a22 −a12
a22 −a12
(誤) 同様に計算して，Ã =
7→ (正) 同様に計算して，Ã =
−a21 −a11
−a21 a11
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p.114 例 63 (
)
)
(
1
1
となっていたとします．
となっていたとします． 7→ (正) f (e3 ) =
(誤) f (e2 ) =
−1
−1
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p.130 付録行列の種類
(誤) 2 章末問題 A 7→ (正) 2 章末問題 B
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p.143 方程式 xn = c の解
(誤) c = k(cos α + i sin α)， 7→ (正) c = s(cos α + i sin α)，
(
(
)
(
))
√
α + 2kπ
α + 2kπ
n
(誤) x = k cos
+ i sin
, (k = 0, 1, 2, · · · , n − 1).
n
n
7→
(正) x =
√
n
(
(
)
(
))
α + 2kπ
α + 2kπ
s cos
+ i sin
, (k = 0, 1, 2, · · · , n − 1).
n
n
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p.148 解答 A20(1)


x − y = 3
x − y = −3
(誤)
7→ (正)
x + 4y = 1
x + 4y = 1
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p.151 解答 A29(2)
(誤) x = −3(t − 2) + 4t − 7 = t − 1. 7→ (正) x = −3(t − 2) − 4t − 7 = −7t − 1.
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p.162 解答 A47 (2)
行+1行 ,
1 0 −4 6 23 行
+ (−1) × 1 行, 1 0 −4 6 −1 1 −1 0 4 行 + (−1) × 1 行 0 1 −5 6 ============= (誤) 0 5 9 −5 1 5 5 1
0 6 10 0 1 6 6 6
行+1行 ,
1 0 −4 6 23 行
+ (−1) × 1 行, 1 0 −4 6 −1 1 −1 0 4 行 + (−1) × 1 行 0 1 −5 6 ============= 7→ (正) 0 5 10 −5 1 5 6 1
0 6 10 0 1 6 6 6
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p.165 解答 A56 (2)
ã11 = (−1)1+1 |(8)| = 8. ã12 = (−1)1+2 |(5)| = −5
(誤)
.
ã21 = (−1)2+1 |(7)| = −7. ã22 = (−1)2+2 |(2)| = 2.
7→
ã11 = (−1)1+1 |(8)| = 8. ã12 = (−1)1+2 |(7)| = −7
(正)
.
ã21 = (−1)2+1 |(5)| = −5. ã22 = (−1)2+2 |(2)| = 2.
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p.166 解答 A59 (3)
 


( ) ( 1 )
1
0
x
3
(誤) xa1 + ya2 =  1 ，
=
， 3  = 13 a1 + 13 a2
1
y
3
0
−3
 
 
( ) ( 1 )
1
1
x
3

7→ (正) xa1 + ya2 =  1 ，
=
，
1  = 13 a1 + 13 a2
1
y
3
0
0
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p.167 解答 A61 (2)




1 0 1 1
1 0 1 1
2 行 +3×1 行
(誤) rank(b1 , b2 , b3 , b4 ) = rank  −3 1 0 2  ========= rank  0 1 3 5 
0 2 6 2
0 2 6 2


1 0 1 1
3 行 +(−2)×2 行
=========== rank  0 1 3 5  = 3. よって生成系になる．
0 0 0 −8




1 0 1 1
1 0 1 1
2 行 +3×1 行
7→ (正) rank(b1 , b2 , b3 , b4 ) = rank  −3 1 0 −2  ========= rank  0 1 3 1 
0 2 6 2
0 2 6 2


1 0 1 1
3 行 +(−2)×2 行
=========== rank  0 1 3 1  = 2. よって生成系にならない．
0 0 0 0
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p.167 解答 B59 (3)
 
 
6
1
(誤)  1  = 2a1 + a2 . 7→ (正)  0  = 2a1 + a2 .
1
0
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p.167 解答 B61 (2)
(誤) rank(a1 , a2 , a3 ) = 3 なので生成系になる．7→ (正) rank(b1 , b2 , b3 , b4 ) = 3 なので生成系になる．
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p.168 解答 A67 (1)
(
)
( )
(
)
( )
x1
1
x1
1
(誤)
= t1
, (t2 ̸= 0). 7→ (正)
= t2
, (t2 ̸= 0).
x2
1
x2
1
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p.170 解答 A68 (2)
(誤) −8 が重複度 1 の固有値．4 が重複度 2 の固有値で，3 − rank(A − 4E) = 2 なので対角化可能．






x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
 1 2 3 0  2 行+2×1 行  1 2 3 0  3 行+3×1 行  1 2 3 0 

 −−−−−−−−−−−−−−−−→ 
.

−−−−−−−−−−−−
→
 −2 −4 −6 0  −−−−−2
−4 −6 0  0
−3 −6 −9 0  0
0 0 0
0 0 0
−3 −6 −9 0
+)
2
0
4
0

6 0
0 0
−1

−3 −6 −9 0
+)
3
0
6
0
9 0
0 0
0
0
0 0
x2
2
0
0

x3
3 0
.
0 0
0 0
固有値 −8 の固有ベクトル t1  2 , (t1 ̸= 0),
3



−3
−2
固有値 4 の固有ベクトル t2  0  + t3  1 , (t2 , t3 : 同時に 0 にはならない).
1
0




−1 −3 −2
−8 0 0
P =  2 0 1  とおくと，P − 1AP =  0 4 0  と対角化できる．
3 1 0
0 0 4
7→
(正) −8 が重複度 1 の固有値．4 が重複度 2 の固有値.


−1
固有値 −8 の固有ベクトル t1  2 , (t1 ̸= 0),
3





x1 x2 x3
x1
x1 x2 x3
 1 2 3 0  2 行+2×1 行  1 2 3 0  3 行+3×1 行  1
 −−−−−−−−−−−−−−−−→ 
 −−−−−−−−−−−−−−−−→ 

 −2 −4 −6 0 
−2 −4 −6 0  0
−3 −6 −9 0  0
0 0 0
+) 2
4
6 0
+) 3
6
9 0
−3 −6 −9 0
−3
−6
−9
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0




−3
−2
固有値 4 の固有ベクトル t2  0  + t3  1 , (t2 , t3 : 同時に 0 にはならない).
1
0
3 − rank(A − 4E) = 2 なので対角化可能．




−1 −3 −2
−8 0 0
−1
P =  2 0 1  とおくと，P AP =  0 4 0  と対角化できる．

3 1 0
0 0 4
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p.170 解答 A69
(誤) An = P (対角行列)n P で成分表示ができる．
7
→
(正) An = P (対角行列)n P −1 で成分表示ができる．
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p.173 解答 A74 (1)
(誤) 3i = 0 + 3i, a = 0, b = 6 なので， 7→ (正) 3i = 0 + 3i, a = 0, b = 3 なので，
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