線形代数 I 練習問題 2015.7    x + 2y − z + w = −3 1. 連立１次方程式 2x + y + z + 2w = 6 が解をもつように定数 a の値を定めよ．   x − y + 2z + w = a さらに，そのときの解を，同伴な同次方程式の基本解と，一つの特殊解とで表せ． 2. x = x1 が，同次連立一次方程式 Ax = o の解なら，任意の定数 k に対して， x = kx1 も解であることを示せ． 3. 次の行列の階数（ rank ）を求めよ．      1  3 2 1 1 1 a  n+1     (1)  2 1 0  (2)  1 a 1  （a は定数） (3)   ···  2 2 2 a 1 1 ··· 4. 次の行列 A の逆行列 A−1 を求めよ．  ( ) 1 2 3 4  (1) A = (2) A =  1 1 −2 5 2 3 2 5. (1) 行列式 3 1 −2 −1   0  −3  1 0   0 0 (3) A =   1 1  1 0 2 ··· ··· n ··· ··· mn 1 1 0 0  1  0   1   0 の値を求めよ． (2) 平面において，３点 (1, −1), (2, 1), (−1, 4) を頂点とする三角形の面積を求めよ．       [解]    x     y     = k  z      w 1. a = 9，   −1    1   + ℓ   1   0   −1    0  +  0    1  5  −4   0   0 （k, ℓ は任意の定数，ただし他の表現もあり得る．） 2. A(kx1 ) = kAx1 = ko = o 3. (1) rank = 2 (2) a = 1 のとき rank= 1，a = −2 のとき rank= 2，それ以外のとき rank= 3． (3) m または n が 1 のとき rank = 1，それ以外のとき rank = 2 4. (1) A−1 = −1 (3) A 5. (1) −7 1 23  ( 5 2 −4 3  ) (2) A−1 0 0 0 1   −1 1 1 0 =  0 1 0 0  1 −1 0 −1 (2) 9 2       −3 1 =  3 2 1  3 1  −1 −1  1 −1