線形数学 II 中間テスト（2015 年 11 月 26 日木曜日） ※ 答案はすべて答案用紙（本紙）内に記入すること（計算用紙は提出せずに持ち帰ること）. ※ スペースが足りない場合は，続きがどこに書いてあるか明記した上で，余白部分に続きを書いてよい. 学籍番号氏名点数 1 以下の設問に答えなさい. (1) W を Rn の部分集合とする. このとき, W が Rn の部分空間である事の定義を述べよ. (2) Rn の r 個のベクトル a1 , a2 , . . . , ar が一次独立であることの定義を述べよ. (3) W を Rn の部分空間とする. W の r 個のベクトル a1 , a2 , . . . , ar に対して, < a1 , a2 , . . . , ar > の定義を答えよ. また，ベクトルの組 {a1 , a2 , . . . , ar } が W の基底であることの定義を述べよ. 2 A は n 行 m 列の行列, b は零ベクトルではない m 次列ベクトルとし, W = {x ∈ Rn | Ax = b} を考える. このとき, 以下の問いに答えよ. (1) rank A , rank (A | b) のとき, W は Rn の部分空間であるか理由とともに答えなさい. (2) rank A = rank (A | b) のとき, W は Rn の部分空間であるか理由とともに答えなさい.          1   −1   1   0           0   1   0   1  , a3 =  , a4 =   は 1 次独立であるか 1 次従属であるか，定義に従っ 3 ベクトル a1 =  , a2 =   1   2   3   1          2 0 1 3 て調べよ. 線形数学 II 中間テスト（2015 年 11 月 26 日木曜日）学籍番号氏名    2 −1 1 1    4 行列 A =  3 1 −1 −1  を用いて, 線形写像 f : R4 → R3 を f (x) = Ax (但し, x ∈ R4 ) によって定   −2 1 −1 −1 める. この時, 以下の問いに答えよ. (1) Ker f のひと組の基底と次元を求めよ. (2) Im f のひと組の基底と次元を求めよ. 5 W1 , W2 , W3 を R5 の部分空間として, W1 + W2 + W3 = {w1 + w2 + w3 | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 , w3 ∈ W3 } によっ            1   1   0   2   2             0   1   1   1   2            て集合 W1 + W2 + W3 を定義する(注 1) . ベクトル a1 =  −1 , a2 =  0 , b1 =  −1 , b2 =  −1 , b3 =  −2 ,            1   1   2   0   1            1 0 0 1 1      1   0       0   1      c1 =  1 , c2 =  1  を用いて W1 =< a1 , a2 >, W2 =< b1 , b2 , b3 >, W3 =< c1 , c2 > と表されるとき, W1 + W2 + W3      1   1      0 −1 のひと組の基底と次元を求めよ. この定義から, もし W1 , W2 , W3 が W1 =< a1 , a2 , · · · , a` >, W2 =< b1 , b2 , · · · , bm >, W3 =< c1 , c2 , · · · , cn > というように R5 のベクトルの生成する空間として表されていれば, W1 + W2 + W3 =< a1 , a2 , · · · , a` , b1 , b2 , · · · , bm , c1 , c2 , · · · , cn > と表すことができるということがわかるであろう. (注 1)