線形数学 II 中間テスト（2015 年 11 月 26 日 木曜日）
※ 答案はすべて答案用紙（本紙）内に記入すること（計算用紙は提出せずに持ち帰ること）.
※ スペースが足りない場合は，続きがどこに書いてあるか明記した上で，余白部分に続きを書いてよい.
学籍番号 氏名 点数 1
以下の設問に答えなさい.
(1) W を Rn の部分集合とする. このとき, W が Rn の部分空間である事の定義を述べよ.
(2) Rn の r 個のベクトル a1 , a2 , . . . , ar が一次独立であることの定義を述べよ.
(3) W を Rn の部分空間とする. W の r 個のベクトル a1 , a2 , . . . , ar に対して, < a1 , a2 , . . . , ar > の定義を答え
よ. また，ベクトルの組 {a1 , a2 , . . . , ar } が W の基底であることの定義を述べよ.
2 A は n 行 m 列の行列, b は零ベクトルではない m 次列ベクトルとし, W = {x ∈ Rn | Ax = b} を考える. こ
のとき, 以下の問いに答えよ.
(1) rank A , rank (A | b) のとき, W は Rn の部分空間であるか理由とともに答えなさい.
(2) rank A = rank (A | b) のとき, W は Rn の部分空間であるか理由とともに答えなさい.
1
−1
1
0
0
1
0
1
, a3 = , a4 = は 1 次独立であるか 1 次従属であるか，定義に従っ
3 ベクトル a1 = , a2 =
1
2
3
1
2
0
1
3
て調べよ.
線形数学 II 中間テスト（2015 年 11 月 26 日 木曜日）
学籍番号 氏名
2 −1 1 1
4
行列 A = 3
1 −1 −1 を用いて, 線形写像 f : R4 → R3 を f (x) = Ax (但し, x ∈ R4 ) によって定
−2 1 −1 −1
める. この時, 以下の問いに答えよ.
(1) Ker f のひと組の基底と次元を求めよ.
(2) Im f のひと組の基底と次元を求めよ.
5 W1 , W2 , W3 を R5 の部分空間として, W1 + W2 + W3 = {w1 + w2 + w3 | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 , w3 ∈ W3 } によっ
1
1
0
2
2
0
1
1
1
2
て集合 W1 + W2 + W3 を定義する(注 1) . ベクトル a1 = −1 , a2 = 0 , b1 = −1 , b2 = −1 , b3 = −2 ,
1
1
2
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
c1 = 1 , c2 = 1 を用いて W1 =< a1 , a2 >, W2 =< b1 , b2 , b3 >, W3 =< c1 , c2 > と表されるとき, W1 + W2 + W3
1
1
0
−1
のひと組の基底と次元を求めよ.
この定義から, もし W1 , W2 , W3 が W1 =< a1 , a2 , · · · , a` >, W2 =< b1 , b2 , · · · , bm >, W3 =< c1 , c2 , · · · , cn > というように R5 のベク
トルの生成する空間として表されていれば, W1 + W2 + W3 =< a1 , a2 , · · · , a` , b1 , b2 , · · · , bm , c1 , c2 , · · · , cn > と表すことができるという
ことがわかるであろう.
(注 1)
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![P-1QR OR ] 3 A を m × n \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 0 0 0 0 0 0 0](http://s3.expydoc.com/store/data/010231336_1-5a35b0dec1dc7c8f765fd7cb5ff89cfd-250x500.png)