解析学 IV 演習問題 No.4 2014.10.28 13. つぎの f に対して点 P = (a, b) の近傍で f (x, y) = 0 は y = g(x) の形に書けることを示 dy し，微分係数 dx (a) を求めよ． (1) f (x, y) = log(2x2 + y 2 ) − tan−1 x , 2y P = (0, 1) (2) f (x, y) = cos(x + y) − sin xy, P = (π/2, 0) 14. つぎの f に対して点 P = (a, b, c) の近傍で f (x, y, z) = 0 は z = g(x, y) の形に書けること ∂z ∂z を示し，偏微分係数 ∂x (a, b), ∂y (a, b) を求めよ． (1) f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz − 1, P = (0, 0, 1) x y z 7 (2) f (x, y, z) = + + − , P = (2, 1, 1) y z x 2 15. Lagrange の乗数法を用いて，条件 g = 0 の下で関数 f の極値を調べよ. (1) f (x, y) = x + y, g(x, y) = 2x2 + 3y 2 − 1. (2) f (x, y) = xy, g(x, y) = x2 + y 2 + xy − 3. (3) f (x, y) = xy, g(x, y) = x3 + y 3 + x + y − 4. (4) f (x, y) = x3 y, g(x, y) = x2 + y 2 − 4. (5) f (x, y) = x2 + y 2 , g(x, y) = x3 + y 3 − 3xy. (6) f (x, y) = 2x2 − 3xy + y 2 , g(x, y) = x2 + y 2 − 1. (7) f (x, y) = 2x3 + y 3 , g(x, y) = x4 + y 4 − 1． (8) f (x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = 1/x + 1/y + 1/z − 1. (9) f (x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1． (10) f (x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = x2 y 2 z 2 + 2 + 2 − 1 (a, b, c > 0). a2 b c 16. a, p, q, r > 0 とする．集合 D = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = a, x > 0, y > 0, z > 0} における xp y q z r の最大値を求めよ． 17. a > b > 0 とする. 楕円 x2 y 2 + 2 = 1 に内接する三角形の面積の最大値を求めよ． a2 b 18. 体積が一定の直方体のうちで表面積が最小となるものを求めよ． 19. D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 4} 上で定義された関数 f (x, y) = x4 + y 4 − x2 − y 2 + 2xy の最大値・最小値を求めよ．配布済演習問題は以下に在ります． http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/