E クラス線形代数学第一練習問題 1 4 月 28 日の中間テストの準備には, 以下の問題を解いたり, 講義のノートと教科書を勉強したり, 演習問題を復習したりするのが役に立ちます. 試験範囲は教科書の第 1 章と第 2 章となります. 来週の火曜日 (4 月 26 日) に練習問題の略解をこのウェブサイトにアップします. テストの問題は下記に似ているとは限らない.  [1] A = 1 3√  1− 3  3√ 1+ 3 3 √ 1+ 3 3 1 3√ 1− 3 3 √  1− 3 3√ 1+ 3  3  1 3 について, A2 , A3 , A4 , . . . , An , . . . を計算し, A−1 を求めよ. [2] A を m 次の正則行列, B を n 次の正則行列, C を m × n 行列とするとき, 次の行列 X, Y , Z, W は正則であることを確かめ, その逆行列を求めよ. [ ] [ ] [ ] [ ] A O A C A O C A (1) X = (2) Y = (3) Z = t (4) W = O B O B C B B O     0 1 −1 1 0 0     [3] A =  3 4 −4 とする. AM1 M2 · · · Mq =  0 1 0  となるような自然数 q と 0 0 1 0 0 1 基本行列 M1 , M2 , . . . , Mq を求めよ.   1 2 3 4 5 6 7 0   [4] 行列   の階数を求めよ. 8 0 0 0 9 0 0 0 [5] A を (m, n) 型行列とし, B を (n, p) 型行列とするとき, 不等式 rank(AB) ≤ rank(A) と rank(AB) ≤ rank(B) が成り立つことを証明せよ. ] [ [6] 次の R4 のベクトル a1 , a2 , a3 , a4 , a5 に対し, A = a1 a2 a3 a4 a5 とおく.   1 3   a1 =   , 1 0  1 0   a2 =   , 2 −1   1 −3   a3 =   , 3 −2    −2 1   a4 =   , −4 −1   −1 7   a5 =   . −4 0 (1) A を階段行列に変形せよ. (2) a3 , a5 のそれぞれを, 定数 c1 , c2 , c4 を用いて c1 a1 + c2 a2 + c4 a4 の形で表せ. [ヒント: 直接計算することもできるが, (1) で求めた階段行列の形を見て, 簡単に求めることができる.]    x + (1 + i)y + (1 − i)z = 2 [7] 連立一次方程式 ix + y + iz = 1 + i を解け.   (1 − 2i)x − (1 − i)y + (1 − 3i)z = −2i [8] k を定数とする. 連立一次方程式    x + 2y − z = 3 2x + 5y + z = 7   x + y − k 2 z = −k の解の個数を k の函数として表せ. [9] 正方行列 A に対して次の主張を証明せよ. (a) A が正則ならば, 全ての右辺 b について方程式 Ax = b の解は唯一つある. (b) 全ての右辺 b について方程式 Ax = b が解を持てば A は正則である.