第8回（連立方程式の解）

経済のための数理基礎８
8
連立 1 次方程式の解
では、連立方程式の解の存在と、その解法を考察してみよう。ここでは、n 個の未知数 x1 , · · · , xn に対
し、m 個の１次方程式が連立された方程式を考えよう。
定義 8.1. 連立 1 次方程式
に対し、

a11

 a21
A=
 ..
 .
am1


a11 x1 + · · · a1n xn = b1





a21 x1 + · · · a2n xn = b2
..


.




a x + · · · a x = b
m1 1
mn n
m
a12
···
a1n
a22
..
.
am2
···
..
.
···
amn



a2n 
.. 
,
. 
x1


 
 x2 

x=
 .. 
 . 
b1

 
 b2 

b=
 .. 
 . 
xn
bm
と行列で表記すると、Ax = b という等式で表される。このとき、(m, n) 行列 A をその連立方程式の係数
行列と呼ぶ。また、A の右側に b を一列加えた (m, n + 1) 行列 (A b) を拡大係数行列と呼ぶ。
拡大係数行列 (A b) を階段行列に変形して、その階数を考察してみよう。まず、通常の係数行列の階数
を r とする。つまり、rankA = r である。


a11

 a21
(A b) = 
 ..
 .
a12
a22
..
.
···
···
···
a1n
a2n
..
.
am1
am2
···
amn


b11




b12 


→

.. 


.



bm
c1j1
d1
c2j2
..
.
crjr
O






 = (C d)



dr+1 
d2
..
.
dr
と基本変形できる。注意として、Ax = b の解は、Cx = d の解と一致することに注意しよう。
この時重要なのは、dr+1 の値である。
1. dr+1 ̸= 0 のとき、すなわち、rank(A b) > rankA = r のとき、Cx = d の方程式からは、dr+1 =
0 · xr+1 = 0 となってしまうため、矛盾となる。つまり、この方程式は解を持たない。
2. dr+1 = 0 のとき、すなわち、rank(A b) = rankA = r のとき、xr+1 = t1 , · · · , xn = tn−r という
n − r 個の任意定数で置き換えると、帰納的に x1 , · · · , xr もこれらの任意定数を用いて書き表せる。
つまり、r 行目は
crjr xr + crjr +1 t1 + · · · crn tn = dr
という方程式を表しているが、crjr ̸= 0 なのだから、この 1 次方程式は一意的に解を持つ。以降、下
から順に 1 次方程式を解いていけば、解が求まる。注意としては、x というのは一意的な解を持つ
わけではない。xr+1 , · · · , xn は任意定数で置き換えたので、ここに不定性が残っている。この不定
の解の個数 n − r をこの連立方程式の解の「自由度」と呼ぶ。また、n − r 個の任意定数を含んだ形
の解を「一般解」、任意定数に特別な値を代入した解を「特殊解」と呼ぶ。
1
以上の事から連立方程式の解について、以下のことが言える。
定理 8.2. A を (m, n) 行列とする。n 個の未知数 x からなる連立 1 次方程式 Ax = b が解を持つための
必要十分条件は、
rank(A b) = rankA
が成り立つことである。このとき、一般解は n − rankA の自由度を持つ。
注意 8.3. このことから、感覚的に理解していた n 個の未知数に対し、m < n となる m 個の方程式の連
立では、解が一意に決まらないことが理論的に示される。
例 8.4. 次の連立 1 次方程式の一般解を求めてみよう。



x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5




−x + 3x + x + 7x − 3x
1
2
3
4
=6
= −4
5


2x1 − 2x2 + 11x3 + x4 + 8x5




3x − 3x + 23x − 5x + 25x
1
2
3
4
5
まず、拡大係数行列の階数を求めてみよう。

1 −2 3 −4

−1 3
1
7
(A b) = 
 2 −2 11 1

3 −3 23 −5

1

0
→
0

0
=4
= 32


5
6
1 −2 3




−3 −4
0 1
4
→
0 2
8
4
5


25 32
0 3 14
−2
3
−4
5
1
0
4
−3
3
3
2
−6
0
2
−2
4
6


1 −2



2 
 → 0

0
−12

8
0

−4 5
6

3
2
2

9 −2 −8

7
10 14
−3 −4 5
1
0
4
1
0
0
6


3 2 2

−1 2 4

0
0
0
となるため、
rank(A b) = rankA = 3
となり、この方程式は自由度 2 の一般解を持つ。このとき、x4 = c1 , x5 = c2 とおくと、
x3 − c1 + 2c2 = 4
により、x3 = c1 − 2c2 + 4 である。以下、
x2 + 4x3 + 3x4 + 2x5 = 2
から、x2 = −7c1 + 6c2 − 14 であり、
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 6
からは、
x1 = −13c1 + 13c2 − 34
と表せるため、任意定数を用いて、一般解が
  

 


x1
−13
13
−34
  

 


x2   −7 
6
−14
  

 


x3  =  1  c1 + −2 c2 +  4 
  

 


  

 


x 4   1 
0
 0 
x5
0
1
と表される。
2
0
上記の問題が特殊解を求めよ、という場合ならば、任意定数をたとえば c1 = 0, c2 = 0 にとって、

  
−34
x1
  

x2  −14

  
x3  =  4 

  

  
x4   0 
0
x5
が特殊解の一つである。無論、他にも任意定数の取り方によって無数の特殊解がある。
例 8.5. 次の連立 1 次方程式の一般解を求めてみよう。



x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4




−2x − 2x + x − 2x
1
2
3
=5
4


x1 − 4x2 − 18x3 − 9x4




2x + 6x + 13x + 6x
1
2
3
4
= −6
= −2
=a
が解を持つように a の値を定め、その解を求めてみよう。
解を持つかどうかは、拡大係数行列の階数でわかるので計算すると、



1
2
3
4
5
1 2
3



−2 −2


1
−2 −6
7
0 2
(A b) = 
 1 −4 −18 −9 −2 → 0 −6 −21



2
6
13
6
a
0 2
7

1

0
→
0

0
2
3
2
0
0
7
0
0
4
5


1 2



6
4 
 → 0 2

0 0
5
5 

−8 a − 14
0 0
3
4
7
0
0
6
1
0
4
6
−13
5
4
−7
−2
a − 10
5








4 

1 

a−6
となる。よって、a = 6 のとき、rank(A b) = rankA = 3 となり、方程式は自由度 1 の一般解を持つ。これ
を求めるため、x3 = 2c とおく（分数を出さないための配慮）。これより、x4 = 1, x3 = 2c, x2 = −7c − 1,
x1 = 8c + 3 となる。よって、

  
 
x1
8
3
   
 
x2  −7
−1
  =  c +  
x   2 
0
 3  
 
x4
0
1
3

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