20 第3講平面ベクトル ⑴ 基本事項 ◇ ベクトルとその演算ベクトルの定義 ❶ ⑴ 線分 AABA に A から B へ向かう向きを与えたものを有向線分 AABA という．有向線分 AABA において,A A を始点,A A B を終点という．有向線分で,A その位置を問題にせず,A 向きと長さだけを考えたものをベクトルという．  有向線分 AABA の表すベクトルを A AB A と書く．   有向線分 AABA の長さをベクトル A AB A の大きさといい,A A  AB A と表す．  ベクトルは A a A などと表されることもある．   ⑵ !つのベクトル A a ,A b A について,A それらを表す有向線分の向きと長さが一致するとき,A これ   らのベクトルは等しいといい,A A a = b A と表す． ⑶    ベクトル A a A と大きさが等しく,A A 向きが反対であるベクトルを A a A の逆ベクトルといい A − a A で       表す．a = AB A とすると,A − a = − AB A であるから,A BA = − AB A である．   また,A AA A は大きさが A0A のベクトルと考え,A これを零ベクトルといい A 0 A で表す．  0 の向きは考えない． 26 例題 1     正六角形 A ABCDEFA において,A AB = a ,A BC = b A   とするとき,A 次のベクトルを A a ,A b A を用いて表せ．  ⑴ AC  ⑵ CD  ⑶ EB 考え方ベクトルの和,A 差 A(たし算,A 引き算)A を用いて考えてみよう．【解答】    AC = AB + BC   =a +b ．    AD = 2BC = 2 b ⑴ ⑵ であるから,A これと ⑴ の結果より，    CD = AD − AC    = 2 b −( a + b )   =−a +b ．    ⑶ DE = − AB = − a …(答) ☜ …(答) であるから，    AE = AD + DE   = 2 b +( − a )   = − a +2 b ．よって，    EB = AB − AE    = a −( − a +2 b )   = 2 a −2 b ． …(答) ☜   EB = − 2CD   = − 2( − a + b )   = 2 a −2 b のように考えることもできる． 30 演習 3・1 三角形 OAB があり，重心を G とする．さらに辺 AB を 2：1 に外分する点を P，線分 AG を 2：1 に内分する点を Q とする．     ⑴ OP ，OQ をそれぞれ OA ，OB を用いて表せ． ⑵ 辺 OB を 6：1 に内分する点を R とするとき，!点 P，R，Q が一直線上にあることを示せ．また，PR：RQ を求めよ． 3・2 平行四辺形 OABC の辺 OA を 1：3 に内分する点を D，辺 OC の中点を E とし，線分 AE と線分 BD の交点を P とする．      ⑴ OB ，OD ，OE をそれぞれ OA ，OC を用いて表せ．    ⑵ OP を OA ，OC を用いて表せ．    ⑶ 直線 OP と辺 AB との交点を Q とするとき，OQ を OA ，OC を用いて表せ．