AP PB ¢ BQ QC ¢ CR RD ¢ DS SA = 1 AP PB ¢ BQ

年番号
1
四面体 ABCD がある．線分 AB，BC，CD，DA 上にそれぞれ点 P，Q，R，S がある．点 P，Q，
R，S は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．
(1) PQ と RS が平行であるとき，等式
3
氏名
立方体 ABCD-EFGH がある．辺 AD，AB をそれぞれ 1 : 3 に内分する点を P，Q とする．辺
FG 上に FS : SG = t : (1 ¡ t) (0 < t < 1) をみたす点 S をとる．また，3 点 P，Q，S を通る
¡!
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! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
平面と辺 BF の交点を R とする．AB = x ，AD = y ，AE = z とするとき，次の問いに答
えよ．
BQ
CR
DS
AP
¢
¢
¢
=1
PB
QC RD SA
が成り立つことを示せ．
(2) PQ と RS が平行でないとき，等式
BQ
CR
DS
AP
¢
¢
¢
=1
PB
QC RD SA
が成り立つことを示せ．
（埼玉大学 2015 ）
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) QR を x ， y ， z および t を用いて表せ．
(2) ÎQRS = 120± となるときの t の値を求めよ．
（和歌山大学 2014 ）
2
a > 0，b > 0，c > 0 とする．原点を O とする座標空間に 3 点 A(a; 0; 0)，B(0; b; 0)，
C(0; 0; c) をとり，4ABC の重心を G とする．
(1) G の座標を a; b; c で表せ．
¡!
(2) G を通り，OG と垂直な平面を ® とし，® と x 軸，y 軸，z 軸との交点をそれぞれ P，Q，R と
する．P，Q，R の座標を a; b; c で表せ．
¡! ¡!
(3) (2) の P，Q，R について，PQ と PR のなす角を µ とする．cos µ を a; b; c で表せ．
（南山大学 2014 ）
4
立方体 ABCD-EFGH がある．辺 AD，AB をそれぞれ 1 : 3 に内分する点を P，Q とする．辺
FG 上に FS : SG = t : (1 ¡ t) (0 < t < 1) をみたす点 S をとる．また，3 点 P，Q，S を通る
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
平面と辺 BF の交点を R とする．AB = x ，AD = y ，AE = z とするとき，次の問いに答
えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) QR を x ， y ， z および t を用いて表せ．
(2) ÎQRS = 120± となるときの t の値を求めよ．
（和歌山大学 2014 ）
5
平面上で鋭角三角形 4ABC の外側に，AB および AC を 1 辺とする正方形 ABFG，ACDE をつ
¡!
¡! ¡!
¡!
くる．ただし，jABj = jAGj，jACj = jAEj とする．線分 EG の中点を M，点 C から AB に下ろ
¡! ¡
! ¡! ¡
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¡
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した垂線の足を H，直線 AM と CH の交点を P とする．AB = a ，AC = b とおき，j a j = 1，
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!
j b j = t，ÎCAB = µ とする．以下の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) AB ¢ AC を t; µ を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
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(2) HC を a ; b ; t; µ を用いて表せ．
(3) 直線 AM と直線 BC が直交することを示せ．
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! ¡
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(4) AG，AE をそれぞれ a ; b ; t; µ を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
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(5) AP を a ; b ; t; µ を用いて表せ．
¡
! ¡!
(6) BP ¢ AC を求めよ．
（同志社大学 2014 ）

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