（数学）【No. 3】正の実数全体を定義域とする関数  が存在して以下の条件⒜ ⒝ ⒞を満たしているとする。 ⒜  は何回でも微分可能である。 ⒝ 任意の正の実数  に対して ⒞ →＋0のときこのとき ⑴ さらに ⒟  ＋   ＋  ＋1  ＝  を満たす。  は正の無限大に発散する。すなわち l i m   ＝＋∞ 욏 웨울월 以下の設問に答えよ。条件⒟が満たされているとするとき次の問い쑛 ⅰ∼쑛 ⅳ に答えよ。任意の正の実数 に対して   ＞0 π 直線 ＝si nただし 0＜＜ ＝1で囲ま  2   れる図形の面積を  とするとき  の導関数  を  s i nを含む式により表せ。  ⅱ  쑛 2を  を用いて表せ。また  を  2を用いて表せ。 ⅰ 쑛 平面において ⅲ 쑛 ＞となる任意の正の実数  に対して 쑛 ⅳ 導関数の定義から曲線 ＝ と 軸   ＜ であることを証明せよ。  を負の定数として   ＝    ＋1  が成り立つことを証明せよ。 ⑵ 条件⒟は必ずしも満たされていないとする。関数  の値域は −1＜  ＜0の範囲を含まないことを証明せよ。（物理）【No. 1】質量m の小球 A と質量 m の小球 B を亜ばね定数 k の軽いばねでつなぎ亜滑らかな水平面上で静止させた。このとき亜ばねの長さは自然の長さである。いま亜図のように亜質量 m の別の小球 C がばねの延長線上を右向きに速さ V で進んできて亜小球 A と瞬間的に弾性衝突した。小球 A と B はばねでつながっているが亜衝突の瞬間には亜ばねはまだ縮んでいないので亜小球 B の速度はである。 2 C A B 衝突後亜それぞれの小球及びばねは次のような運動をした。茜小球 C はばねの延長線上を左向きに一定の速さ V ′ で移動した。小球 A と C は再び衝突することはなかった。茜ばねは伸び縮みをくり返した。また亜この間亜小球 A と B の重心 G は亜一定の速さ V G でばねの延長線上を右向きに移動した。茜重心 G からみると亜小球 A と B はそれぞればね定数 k A と k B のばねで重心 G につながれ亜同じ周期 T で単振動しているように見えた。以下の設問に答えよ。答えのみでなく亜考え方や計算の過程も記すこと。 ⑴ 小球 C の衝突後の速さ V ′ を求めよ。 ⑵ 衝突後の重心 G の速さ V G を求めよ。 ⑶ この衝突を別の見方で考える。小球 A亜B 及びばねを質量m の一つの小球 D とみなし亜静止した小球 D に小球 C が右向きの速さ V で衝突したとする。衝突後の小球 C の左向きの速さは V ′ に等しく亜小球 D の右向きの速さは V G に等しいとして亜小球 C と D の間のはねかえり係数 |反発係数e の値を求めよ。 ⑷ ばね定数 k A亜k B を k を用いて表せ。 ⑸ 単振動の周期 T を k亜m を用いて表せ。 ⑹ ばねは亜自然の長さから最大 d の長さ縮んだ。d を k亜m亜V を用いて表せ。