¼ 24 + isin ¼ 24

年番号
1
i を虚数単位，r を 1 より大きい実数とし，w = r #cos
fzn g を次の式で定める．
z1 = w;
zn+1 = zn wn+2
¼
¼
; とおく．また，数列
+ i sin
24
24
氏名
3 （新課程履修者）a > 0 とする．複素平面上で等式
z ¡ ia =
(n = 1; 2; 3; Ý)
z¡z
2i
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする．ただし，i は虚数単位で，z は z と共役な複素数を
このとき，次の問いに答えよ．
表す．
(1) z2 を r を用いて表せ．
(1) z = x + iy と表すとき，C の方程式を y = f(x) の形で表せ．
(2) zn の偏角の 1 つを n を用いて表せ．
(2) C 上の点 z で
(3) 複素数平面で原点を O，zn で表される点を Pn とする．7 5 n 5 48 のとき，4Pn OPn+1 が
¼
を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ．また，そのときの zn の
ÎO =
3
偏角 µ を 0 5 µ < 2¼ の範囲で求めよ．
z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i)
を満たすものを求めよ．
（静岡大学 2015 ）
（学習院大学 2015 ）
4
® を実数でない複素数とし，¯ を正の実数とする．以下の問いに答えよ．ただし，複素数 w に
対してその共役複素数を w で表す．
2
方程式
x4
+
x2
+ 1 = 0 の解で，実部と虚部がともに正のものを x1 ，実部が負で虚部が正のも
のを x2 ，実部と虚部がともに負のものを x3 ，実部が正で虚部が負のものを x4 とする．
(1) この方程式を解きなさい．
(3) 与方程式の解 xi と自然数 n に対して，xi
2 を満たす複素数 z の描く図形を
C とする．このとき，
C は原点を通る円であることを示せ．
(2) 複素数平面上で，(z ¡ ®)(¯ ¡ ®) が純虚数となる複素数 z の描く図形を L とする．L は (1)
(2) x1 k (k = 1; 2; Ý; 6) を計算しなさい．
4n
(1) 複素数平面上で，関係式 ®z + ®z = z
で定めた C と 2 つの共有点をもつことを示せ．また，その 2 点を P，Q とするとき，線分 PQ の
+ xi
2n
+ 1 (i = 1; 2; 3; 4) を求めなさい．
（大分大学 2015 ）
長さを ® と ® を用いて表せ．
(3) ¯ の表す複素数平面上の点を R とする．(2) で定めた点 P，Q と点 R を頂点とする三角形が正
三角形であるとき，¯ を ® と ® を用いて表せ．
（筑波大学 2015 ）
5
座標空間内に 3 点 A(1; 1; 2)，B(3; 5; 7)，C(4; 4; 5) がある．また，s; t は実数であると
して，点 P(s; t; 4) を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点 P が 3 点 A，B，C を通る平面上にあるための s; t の関係式を求めよ．
(2) 点 P が直線 AB 上にあるときの s; t の値を求めよ．
(3) 点 P が 3 点 A，B，C を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形 ABC は二つの部分に
分けられる．この二つの部分の面積の比の値 r を求めよ．ただし，r = 1 とする．
（大阪府立大学 2014 ）
6
p
p
OA = 3，OB = 2，AB = 5 となる三角形 OAB がある．三角形 OAB の内部の点 C から辺
OA，OB に下ろした垂線の足をそれぞれ P，Q とすると，
OP : PA = 2 : 1;
OQ : QB = 1 : 2
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
であった．OA = a ，OB = b ，OC = c とおくとき，以下の各問に答えよ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b ， c ¢ a ， c ¢ b をそれぞれ求めよ．
¡
! ¡
! ¡
!
(2) c を a ， b を用いて表せ．
(3) 点 C から辺 AB に下ろした垂線の足を R とするとき，AR : RB を求めよ．
注点 X から辺 YZ に下ろした垂線の足とは，点 X から辺 YZ に下ろした垂線と辺 YZ との交
点のことである．
（茨城大学 2014 ）
7
p
p
p
座標平面上の 3 点 A( 3; ¡2)，B(3 3; 0)，C(4 3; ¡5) を頂点とする三角形 ABC の外心を
D とする．このとき，
¡!
AD =
サ
シ
¡!
AB +
ス
セ
¡!
AC
である．また，直線 AD と辺 BC の交点を E とすると，
BE
=
EC
ソ
タ
である．
（早稲田大学 2015 ）

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