2013年

微分積分学 II 期末試験問題 (２０１４年２月)
氏名
学籍番号
「後期期間における、フィロスの利用頻度はどの程度ですか、１つ選んでください。
(注:どれを選んでも成績には関係ありません)」
1 : 週に一回以上、コンスタントに利用している。
2 : テスト前など、過去に数回利用した。
3 : 行ったことが無い。
1.
関数 f (x, y) = x4 + 2xy + y 2 の極値を求めよ。（１２点）
∫∫
2.
次の各問において、領域 D を xy 平面に図示し、２重積分
分で表せ。（各６点）
(1)
D = { (x, y) | − 1 ≦ x ≦ 1 , 0 ≦ y ≦ 1 + x}
{
(2)
D=
(x, y) | 0 ≦ y ≦
f (x, y) dxdy を累次積
D
√
1−
}
x2
3.
条件 2x4 + y 2 = 1 のもとでの関数 f (x, y) = xy の最大値および最小値を求めよ。
（１０点）
4.
次の２重積分における積分領域 D を集合の記号で表し、xy 平面に図示せよ。また、こ
の累次積分の積分順序を交換せよ。
（８点）)
∫∫
∫ 1 (∫ 1−x2
f (x, y) dy dx
f (x, y) dxdy =
D
0
0
5.
次の累次積分を求めよ。
) （各６点）
∫ 1 (∫ 1
(1)
xdx dy
y2
0
∫
1
(∫
√
4
y
(2)
0
∫
0
1
(∫
(3)
6.
)
dy
)
1
e
0
1
dx
2
x +1
−x2
dx
dy
y
u = ex − e−y , v = ex + e−y とするとき、ヤコビアン J(x, y) を求めよ。（５点）
∫∫
7.
D = { (x, y) | 0 ≦ 2x + y ≦ 1 , 0 ≦ x + 2y ≦ 1 } とするとき、
求めよ。（１０点）
(x + y) dxdy を
D
∫∫
8.
２重積分 I =
ydxdy , D =
{
}
(x, y) | 1 ≦ x2 + y 2 ≦ 4, y ≧ x を極座標 (r, θ) に変
D
換して求める。このとき次の問いに答えよ。（各５点）
(1) D に対応する極座標上の領域 D′ を r, θ を用いた不等式で表せ。
(2)
9.
２重積分 I の値を求めよ。
曲面 z = (y − 1)2 、 xy 平面、yz 平面、zx 平面及び平面 x + y = 1 で囲まれた立体の
体積 V を以下の手順に従って求めよ。 ∫ ∫
(1) V を変数 x, y に関する２重積分
f (x, y) dxdy の形で表すとき、D および
f (x, y) を求めよ。（７点）
(2)
10.
D
V を求めよ。（３点）
{
}
領域 D = (x, y) | x4 + y 4 ≦ 1 上で定義された曲面 z = 1 − x4 − y 4 の表面積 S を
D 上の２重積分で表せ。（値を求める必要はない）（５点）

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