埼玉工業大学テーマ Q11：機械工学学習支援セミナー（小西克享） 2 重積分を解く－1/2 2 重積分を解く問題直線 y  2 x と x 軸および y 軸に囲まれた領域を C とするとき，2 重積分 I   x  y dxdy C を次の順序で解け。 (1) dy で積分した後、dx で積分せよ。 (2) dx で積分した後、dy で積分せよ。解答 (1) 図より， y の積分範囲は 0→2x， x の積分範囲は 0→1 となり，先に y に関して積分を行い，次に x に関して積分を行います． y 2 C 2x y の積分範囲は 0 から 2x x O I   x  y dxdy   C  1 2x 0 0 x  y dy 1 x dx ここで，x は定数とみなして y について積分すると  I   0  1 (2) 2x 1 1 1   x3  y 2   4 2 2 2  xy  2   dx  0 2 x  2 x dx  40 x dx  4 3   3   0   0  図より，x の積分範囲は  y →1，y の積分範囲は 0→2 となります．先に x に関して積分 2 を行い，次に y に関して積分を行います． y 2 C y x の積分範囲は y/2 から 1 O y/2 1 x 埼玉工業大学 2 I   x  y dxdy    C 0  機械工学学習支援セミナー（小西克享） 2 重積分を解く－2/2   x  y dx  dy 1 y 2 ここで，y は定数とみなして x について積分すると 1 I  2 0 2 2 1 2 1  x2  y2 y2  5y2    2  yx  y dy  0  2  y  8  2  dy  0  2  y  8  dy       2 2  y y2 5 y3   2 2 2 5  23  5 4        1 2      24  0  2 2 24  3 3 2 2 参考：x と y の積分の順番を変えても，答えは同じになります． http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/LeastSquares.pdf Copyright ⓒ 2014 小西克享, All Rights Reserved. 個人的な学習の目的以外での使用，転載，配布等はできません．お願い：本資料は，埼玉工業大学在学生の学習を支援することを目的として公開しています．本資料の内容に関する本学在学生以外からのご質問・ご要望にはお応えできません．