数学 A2 §11 重積分関数の定積分に相当するものを多変数で考えるのが重積分である．ここでは 2 変数関数の重積分である 2 重積分について考える． 11.1 ２重積分の定義 D は a ≦ x ≦ b , c ≦ y ≦ d で表される長方形の領域とし，D において f (x, y) ≧ 0 とする．f (x, y) z = f (x, y) の領域 D における 2 重積分 z ∫∫ f (x, y) dxdy D を，曲面 z = f (x, y) が D の上下で xy 平面と囲む立体の体積として定義しよう． y 分割区間 [a, b] を m 個の小区 d 間に，区間 [c, d] を n 個の小区間に分けて，D を小さな長方形 c Dij に分割する． a b x 近似 “柱状の小立体”を集めて V を近似する. Dij 内の１点を (ξij , ηij ) とし，∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 とおくと 1 極限 ∆xi → 0, ∆yj → 0 となるように，分割 {Dij } を限りなく細かくするとき，極限が分割によらず一定の値に近づくならば，と表し，f (x, y) は D において，2 重積分可能という．このとき D を積分領域いう．領域 D で必ずしも正でない関数 f (x, y) の 2 重積分も，同じ式で定義する．f (x, y) ≦ 0 のときは曲面が囲む立体の体積の −1 倍の値になる． 11.2 ２重積分の計算 D : a ≦ x ≦ b , c ≦ y ≦ d とする．x だけを変数と考えたときの ∫ b z = f (x, y) の a から b までの定積分を S(y) = f (x, y) dx とする．重積 a 分の定義式で (ξij , ηij ) = (xi , yj ) とすると， ∫∫ f (x, y) dxdy = lim lim ∆xi →0 ∆yi →0 D = lim ∆yi →0 = lim ∆yi →0 ∫ = n ∑ ( m ∑ n ∑ f (xi , yj ) ∆xi ∆yj i=1 j=1 ) ∆yj j=1 n [ ∑ ] ∆yj j=1 d S(y) dy = c 2 z = f (x, y) z z = f (x, yj ) z S(yj ) d yj c ∆yj a a b b x このような積分を [ ] という．すなわち，体積を断面積の積分として求めている．同様に x と y の役割を入れ替えることもでき，次の公式を得る．公式 D が a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d で表される領域のとき ∫∫ ∫ d {∫ b ∫ } f (x, y) dxdy = f (x, y) dx dy = D c a ∫ b {∫ = 注． } d c f (x, y) dx ∫ a ∫ b dx a 累次積分を上の右のような形で表すこともある． 3 b dy c f (x, y) dy dx = a ∫ d d f (x, y) dy c x ［例題 11.1］ D が 1 ≦ x ≦ 2, 0 ≦ y ≦ 3 で表される領域のとき，次の値を求めよ． ∫∫ I= (x + xy − y 2 ) dxdy D ∫ 3 {∫ 2 I= ∫ 0 3 1 ∫ 3 = z } (x + xy − y ) dx dy 2 2 (x + xy − y 2 ) dx dy 0 1 D = 1 (別解) 積分順序を変更すると ∫ 2 ∫ 3 I= dx (x + xy − y 2 ) dy = 1 0 ［例題 11.2］ ∫∫ (y 2 − x2 ) dxdy D : 0 ≦ x ≦ 1, 1 ≦ y ≦ 2 D 4 2 x