数学 A2 §11 一般の領域の重積分演習問題

数学 A2 §11 一般の領域の重積分演習問題
演習の進め方：以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用
い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問
があれば⃝
? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること.
ウォーム・アップ ∫∫
問題 1. 次の積分領域 D に対し, 2 重積分
f (x, y)dxdy を累次積分に書き直したものを選べ:
D
√
(1) D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}
(2) D = {(x, y) | y 2 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1}
∫ 1 ∫ √x
∫ 1 ∫ √x
∫ √x ∫ 1
f (x, y)dx
dy
f (x, y)dx
dx
f (x, y)dy
dy
a.
b.
c.
∫
x2
0
∫
y
dx
d.
y2
0
∫
1
f (x, y)dy
e.
0
∫
1
x2
dy
0
∫
y2
f (x, y)dx
x2
1
f.
y
∫
0
y
f (x, y)dx
dy
0
y2
課題 ∫∫
{
}
xydxdy, D = (x, y) 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 − x
問題 2. 次を計算せよ:
D
∫∫
{
}
y
ydxdy, D = (x, y)
≤ x ≤ 2y, 0 ≤ y ≤ 1
2
D
問題 3. 次を計算せよ:
∫
∫
1
問題 4. 累次積分
√
x
f (x, y)dy の積分順序を交換せよ.
dx
0
0
∫∫
x
dxdy, D = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2x}
y
問題 5. 次を計算せよ:
D
∫∫
xdxdy, D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ π, 0 ≤ x ≤ sin y}
問題 6. 次を計算せよ:
D
∫∫
問題 7. 次を計算せよ:
(1 + xy)dxdy, D は y = x と y = x2 のグラフで囲まれる領域.
D
∫∫
y
問題 8. 次を計算せよ:
e x dxdy, D は 3 点 (0, 0), (1, 0), (1, 1) を頂点とする三角形
D
追加課題提出すれば答案は添削する1.
∫ 1 ∫ 1
2
問題 9. 2 重積分
dy
ex dx を積分順序を変更してから計算せよ.
0
∫
問題 10. 2 重積分
y
∫
1
dy
0
∫∫∫
問題 11. 3 重積分
せよ.
1解答例の公開
1
√
3
ex dx を積分順序を変更してから計算せよ.
y
(x + 2z)dxdydz,
V = {(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1} を計算
V
(約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
解 1. (1) b.
∫∫
∫
解 2.
xydxdy =
1
∫
2−x
∫
1
(2) f.
]y=2−x
[
∫
1
1
dx
xydy =
=
x{(2 − x)2 − x2 }dx
D
0
x
0
0 2
y=x
]1
[
∫ 1
1
2
=
(2x − 2x2 )dx = x2 − x3 =
3
3
0
0
]1
[
∫∫
∫ 1 ∫ 2y
∫ 1 [ ]x=2y ∫ 1
1
3 2
1 3
解 3.
ydxdy =
ydx =
dy xy
=
y dy = y
=
dy
y
y
2
2
x= 2
D
0
0
0 2
0
2
∫ 1 ∫ √x
√
解 4.
dx
f (x, y)dy の積分領域は右図の通りで
y
y= x
0
0
√
D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤√y ≤ x} = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, y 2 ≤ x ≤ 1}
1
∫ 1 ∫ 1
∫ 1 ∫ x
f (x, y)dx.
dy
dx
f (x, y)dy =
と表される. ゆえに
0
0
1
dx xy 2
2
0
y2
O
∫∫
∫ 2 [
]y=2x ∫ 2
x
解 5.
dx
dy =
dx x log |y|
=
{x(log |2x| − log |x|)} dx
y
y=x
D
1 [
x
1
1
]2
∫ 2
3
x2
= log 2.
=
x log 2dx = (log 2)
2 1 2
1
]x=sin y ∫ π
∫
∫ π ∫ sin y
∫ π [
1 2
1 2
1 π 1 − cos 2y
解 6.
dy
xdx =
dy x
=
sin ydy =
dy
2
2 0
2
0
0
0 2
x=0
[ 0
]π
1
1
1
=
y − sin 2y = π.
4
2
4
0
x
dxdy =
y
∫
2
∫
1 x
2x
y
解 7. 積分領域 D は右図の斜線部のようになるので, 単純領域として
2
D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x} と表すことができる.
1
∫∫
∫ 1 ∫ x2
(1 + xy)dxdy =
dx
(1 + xy)dy
D
0
x
]y=x
∫ 1 [
1 2
O
=
dx y + xy
2
2
0
y=x
) (
)}
∫ 1 {(
1 5
1 3
2
=
x+ x − x + x
dx
2
2
0
[
]1
1 6
1 1 1
1
5
1 2 1 4 1 3
x + x − x − x
= + − −
= .
=
2
8
3
12
2 8 3 12
24
0
y
解 8. 積分領域は D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} と書ける (右図).
∫ 1 ∫ x
∫∫
1
y
y
x
dx
e x dy
e dxdy =
0
0
D
]y=x
∫ 1 [
1 y
=
dx
ex
1/x
0
y=0
O
]1
[
∫ 1
e−1
1
.
=
x(e − 1)dx = (e − 1) x2 =
2
2
0
0
y
1 x
1 x
[D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1} と表わすこともできるが, この場合まず e x を x で積分しなけ
ればならず, 計算が進まない. 累次積分に書き直す際は順序をよく考える必要がある.]

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