演習2 I. 次の xy 平面、あるいは xyz 空間、内の領域に対して、(A) x を

演習２
I. 次の xy 平面、あるいは xyz 空間、内の領域に対して、(A) x をとめた
ら y はどの範囲を動くか、(B) y とめたら x はどの範囲を動くかなど、そ
れぞれ記述せよ（必要に応じて場合分けして）。
(i) D1 ：原点 (0, 0) 中心で半径１の円板の上半分
(ii) D2 = {0 ≤ x かつ x/2 ≤ y ≤ x かつ y ≤ 3 − 2x}.
(iii) D3 := {0 ≤ x かつ 0 ≤ y かつ 0 ≤ z かつ x + y + z ≤ 1}.
II. 次の重積分の値を求めよ。
∫∫
(i) D x2 ydxdy 、ただし D は (0, 0), (1, 0), (1, 1) を 3 頂点とする xy 平
面内の三角形の内部.
∫∫
(ii) D x2 y dxdy, ただし D = {0 ≤ y かつ x2 + y 2 ≤ 1}.
∫∫
(iii) D 2x − y dxdy, ただし D = {x ≤ y ≤ 2x かつ x + y ≤ 3}.
∫∫
2
(iv) D ey dxdy, ただし D = {0 ≤ x ≤ 1 かつ x ≤ y ≤ 1}.
√
∫∫ √
(v) D x2 + y dxdy, ただし D = {x2 ≤ y ≤ 4 − x2 かつ |x| ≤ 2}.
∫∫
III. 定数関数 f (x, y) = 1 の領域 D における２重積分 D dxdy は、定義
から考えてすなわち ”D の面積 ”を与えるということになる。積分計算
して面積を出してみよう。
(i) 半径 r の円 D = {x2 + y 2 ≤ r2 } の面積
2
(ii) 楕円 D = { xa2 +
y2
b2
≤ 1} (a, b > 0) の面積
IV. 次の重積分の値を求めよ.
(i) D = {0 ≤ x ≤ 1 かつ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 }
∫∫
2
2xe(1−y) dxdy
D
√
(ii) D = {0 ≤ x < 1 かつ x < y < 1}
∫∫ √
1 + y 3 dxdy
D
———————————————————————–
1
√
I. (i) x をとめると y は 0√から 1 − x2√まで動く (x は −1 から 1 まで動
く)。y をとめると x は − 1 − y 2 から 1 − y 2 まで動く (y は 0 から 1 ま
で動く)。
(ii) D2 は 3 本の直線で囲まれた領域。0 ≤ x ≤ 1 の範囲で x をとめると y
は x2 から x まで動く。1 ≤ x ≤ 65 の範囲で x をとめると y は x2 から 3 − 2x
まで動く。図示も用いて確かめよう。
(iii) D3 は次のように組み合わせて考えるとよい：x, y をとめると z は 0
から 1 − x − y まで動く、x をとめると y は 0 から 1 − x まで動く、x は 0
から 1 まで動く。
II. (iii) は
∫ 1 (∫
0
∫ 3 (∫
2
)
2x
(2x − y)dy dx +
x
1
)
3−x
(2x − y)dy dx
x
と計算できる。累次積分に書きなおす際は、積分領域をこのように適当
に分けて考えて、各所で個別に考えて、それらを全部足せばよい。
II. (iv) は、はじめに x で積分し、あとで y で積分するような順序の累次
積分で書いてみると計算が進む。つまり
∫∫
∫ 1 (∫ 1
)
y2
y2
e dxdy =
e dy dx
D
0
x
とすると (等式自体は正しいが) 計算が進まず苦しいが、
∫∫
y2
∫ 1 (∫
y
e dxdy =
D
y2
)
∫
1
e dx dy =
0
0
0
[
2
ey
ye dy =
2
]y=1
y2
.
y=0
III. (i) πr2 (ii) πab; 実際に面積を重積分で表しそれを累次積分を用いて
計算してこれらの値が得られることを確認せよ。
√
IV. (i) 先に y をとめて x について 0 から 1 − y まで積分し、そのあと y
について 0 から 1 まで積分するとよい。答えの値は 12 (e − 1).
(ii)
∫∫ √
D
∫
1
(∫
y2
1 + y 3 dxdy =
0
0
√
)
2 √
1 + y 3 dx dy = · · · = (2 2 − 1).
9
2

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