12 面積分

神戸大学海事科学部 2014 年度後期応用数学 4 講義ノート
12 面積分
12.1 スカラー場の面積分
連続なスカラー場 φ = φ(x, y, z) および，C 1 級の曲面 S : r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (u, v ∈
D) を考える．S の面積の定義のときと同様に，領域 D を u 軸と v 軸に平行な直線で分割し，その分割に対
応する曲面の分割を考える．
P2
P
△S
u
P3
v + △v
P1
D
u + △u
v
そして右図のように，曲面の分割の各部分の面積 △S を P1 , P2 , P4 を頂点とする平行四辺形の面積で近似
する．
−−→
. ∂r △u,
P P1 = r(u + △u, v) − r(u, v) =
.
∂u
−−→
∂r
.
P P2 = r(u, v + △v) − r(u, v) =.
△v
∂v
より，
−→ −−→ ∂r ∂r .
. −
△u△v.
△S =
×
. P P1 × P P3 =. ∂u ∂v また各分割から適当に点 (u, v) を選んでおき，|△| を，すべての分割にわたる分割幅 △u, △v の最大値とす
る．そして次の和を考える．
∑
∑
∂r
∂r .
×
φ(r(u, v))△S =.
φ(r(u, v)) △u△v.
∂u ∂v この式で分割を増やし，|△| → 0 としたときの極限を考えると，上式の右辺は２重積分
∫∫
∂r ∂r dudv
×
φ(r(u, v)) ∂u ∂v D
に収束する．そこでこの量を
∫
∫∫
φ(x, y, z)dS =
S
∂r ∂r dudv
φ(r(u, v)) ×
∂u ∂v D
1
と書き，スカラー場 φ の曲面 S 上の面積分という．
曲面 S が z = z(x, y) ((x, y) ∈ D) という方程式で与えられる場合は，u = x, v = y とおいて，S は
r(x, y) = (x, y, z(x, y)) ((x, y) ∈ D) と表され，さらに
√
( )2 ( )2
∂r ∂r ∂z
= 1 + ∂z
×
+
∂x ∂y ∂x
∂y
が成立するから，φ の S 上の面積分は，
√
∫∫
∫
φ(x, y, z)dS =
(
φ(x, y, z(x, y)) 1 +
S
D
∂z
∂x
(
)2
+
∂z
∂y
)2
dxdy
と表される．
12.2 ベクトル場の面積分
連続なベクトル場 A = A(x, y, z) および，C 1 級の曲面 S : r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (u, v ∈
D) を考える．
ベクトル場の面積分においては，曲面 S の向きを合わせて考える必要がある．ここで，S が向き付けられて
いるとは，S の単位法線ベクトル n が連続的に動くように定められているときをいう．別の言い方をすれば，
S の表面と裏面が定められているときをいう．
n
向き付け可能な曲面
向き付け可能でない曲面
（メビウスの帯）
以下，S は向き付けられているとし，S の単位法線ベクトル n は
∂r ∂r
×
n = ∂u ∂v ∂r × ∂r ∂u ∂v で与えられるとする（上式右辺の −1 倍を法線ベクトルとするときは S の向きは逆向きになる）．このとき，
A と n の内積 A · n を S 上で積分したものを考え，これを
∫
∫
A · dS =
A · ndS
S
S
∫∫
∂r ∂r dudv
×
=
A(r(u, v)) · n(r(u, v)) ∂u ∂v D
)
(
∫∫
∂r
∂r
×
dudv
=
A(r(u, v)) ·
∂u ∂v
D
∫
と書き，A の S 上の（法線）面積分という．A · n は A の流量密度を表していたので，
時間あたりに S を通って（n 方向に）流れ出る流量を表す．
2
S
A · ndS は，単位
曲面 S が z = z(x, y) ((x, y) ∈ D) で与えられるときは，
∂r ∂r
×
=
∂x ∂y
だったから，
∫
∫∫
A · ndS =
S
(
)
∂z
∂z
− ,− ,1
∂x ∂y
(
)
∂z
∂z
A(x, y, z(x, y)) · − , − , 1 dxdy
∂x ∂y
D
となる．
3

Download Report