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問 領域 D 上で 2 変数関数 f (x, y) の広義重積分
f (x, y)dxdy
D
を計算せよ。
(1) D = {(x, y); x 0, y
2
2
f (x, y) = e−x −y
0},
(2) D = {(x, y); x 0, y
2
2
f (x, y) = xye−x −y ,
0},
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解答
(1) Dn = {(x, y); x = r cos θ, y = r sin θ, 0 r n, 0 θ π2 } とおく。x = r cos θ,
2
2
y = r sin θ と極座標変換すると、dxdx = rdrdθ となることと、(e−r ) = −2re−r に
注意して
π
2
f (x, y)dxdy =
Dn
n
dθ
0
re
−r2
0
π 1 −r2
− e
dr =
2 2
n
=
0
従って
f (x, y)dxdy = lim
n→∞
D
(2) Dn = {(x, y); 0
x
f (x, y)dxdy =
n, 0
y
n
n
0
n
2
xe−x dx
0
ここで
n
0
1
2
= (1 − e−n )
2
f (x, y)dxdy = lim
n→∞
2
xe−x dx
0
0
1 2
2
xe−x dx = − e−x
2
n
2
ye−y dy =
従って
D
π
4
n} とおく。
f (x, y)dxdy =
Dn
Dn
π
2
(1 − e−n )
4
f (x, y)dxdy =
Dn
1
4
2
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考え方
関数 f (x, y)
0 の領域 D での広義重積分を計算するには、有界閉領域の増大列
∞
{Dn }∞
n=1 で ∪n=1 Dn = D となるものを一つ取ってきて
f (x, y)dxdy = lim
D
n→∞
f (x, y)dxdy
Dn
を用いて計算する。この際、Dn はできるだけ計算が楽になるように選ぶとよい。(2)
は極座標変換でもできるが、計算が少しだけ複雑になる。なお f (x, y) の符号が一定
でない場合はこの計算法は使えない。
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