レポート課題 (1 月 15 日出題) の解答例とコメント【問題 3.7】 T をエルミート変換とし，α をその固有値とする．T (⃗p) = α⃗p, ⃗p , ⃗0 とおく． (T (⃗p), ⃗p) = (α⃗p, ⃗p) = α(⃗p, ⃗p) = (⃗p, T (⃗p)) = (⃗p, α⃗p) = α(⃗p, ⃗p) と ⃗p , ⃗0 より (⃗p, ⃗p) > 0 なので α = α を得る．ゆえに α の虚部は 0 であり，α は実数である．同様に T を歪エルミート変換とすれば，α = −α を得る．α の実部は 0 なので α は純虚数または 0 である． • α = α を満たす複素数が実数であることは基本事項だ．ただし α = −α から α は純虚数であるとしてはいけない． • 実は T が歪エルミート変換なら iT はエルミート変換になる．iT の固有値は T の固有値の i 倍なので i 倍が実数になるのは純虚数または 0 ということになる．【問題 3.9】随伴変換の定義から (T ∗ (⃗y), ⃗x) = (⃗y, T (⃗x)) が成り立つが，これは T が T ∗ の随伴変換であることを意味している．ゆえに (T ∗ )∗ = T である． S , T を V の線形変換で随伴変換を持つものとする． ((T + S )(⃗x), ⃗y) = (T (⃗x) + S (⃗x), ⃗y) = (T (⃗x), ⃗y) + (S (⃗x), ⃗y) = (⃗x, T ∗ (⃗y)) + (⃗x, S ∗ (⃗y)) = (⃗x, (T ∗ + S ∗ )(⃗y)) より (T + S )∗ = T ∗ + S ∗ が成り立つ．以上から (T + T ∗ )∗ = T ∗ + (T ∗ )∗ = T ∗ + T, (T − T ∗ )∗ = T ∗ − (T ∗ )∗ = T ∗ − T = −(T − T ∗ ) であり T + T ∗ はエルミート変換，T − T ∗ は歪エルミート変換である．特に T = 12 (T + T ∗ ) + 12 (T − T ∗ ) より， T はエルミート変換と歪エルミート変換の和として表せる．ここで T = S 1 + S 2 かつ S 1 はエルミート変換，S 2 は歪エルミート変換とする． 1 1 (T + T ∗ ) − S 1 = − (T − T ∗ ) + S 2 2 2 と表せば，左辺はエルミート変換，右辺は歪エルミート変換である．右式の両辺を S とおけば，S はエルミー T= 1 1 (T + T ∗ ) + (T − T ∗ ) = S 1 + S 2 2 2 ト変換かつ歪エルミート変換なの d (S (⃗x), ⃗y) = (⃗x, S (⃗y)) = −(⃗x, S (⃗y)) が成り立つ．よって (⃗x, S (⃗y)) = 0 が常に成り立つ．ここで ⃗x = S (⃗y) とおけば S (⃗y) = ⃗0 を得るが ⃗y は任意なので S = 0 である．よって S1 = 1 (T + T ∗ ), 2 S2 = 1 (T − T ∗ ) 2 であり，表し方は一意的である．【コメント】 • 解答例は随伴変換の基本性質を示すことによって証明を与えた．もっと直接的な方法としては ((T + T ∗ )(⃗x), ⃗y) = (T (⃗x), ⃗y) + (T ∗ (⃗x), ⃗y) = (⃗x, T ∗ (⃗y)) + (⃗y, T ∗ (⃗x)) = (⃗x, T ∗ (⃗y)) + (T (⃗y), ⃗x) = (⃗x, T ∗ (⃗y)) + (⃗x, T (⃗y)) = (⃗x, (T + T ∗ )(⃗y) これによって T + T ∗ がエルミート変換であることが分かる． • 表示の一意性は直和と関係がある．線形変換全体の集合は和とスカラー倍が定義されており線形空間である．エルミート変換全体と歪エルミート変換全体はそれぞれその部分空間である．問題の主張はこの和空間が直和であることを示せばよい．すなわち共通部分が 0 元だけということを示せばよい．証明の中で，エルミート変換かつ歪エルミート変換なら 0 写像であることを示しているがこれはまさに直和であることの証明である．