1 次の問いに答えよ。 (1) 定数 a, b を用いて, sin θ + cos θ を a sin(θ + b

1 次の問いに答えよ。
(1) 定数 a, b を用いて, sin θ + cos θ を a sin(θ + b) の形に表せ。ただし, a > 0, 0 ≦ b < 2π とする。
(2) 0 ≦ θ ≦ π の範囲で, sin θ + cos θ の最大値と最小値を求めよ。
(3) t = sin θ + cos θ とおくとき, sin θ · cos θ を t を用いて表し, 0 ≦ θ ≦ π の範囲で sin θ · cos θ の最大値
と最小値を求めよ。
(4) t = sin θ + cos θ とおくとき, sin3 θ + cos3 θ の最大値と最小値を求めよ。
(2011 年度佐賀大学)
2 多項式 f (x) = x4 − x3 + cx2 − 11x + d について, f (1 +
理数とする。次の問いに答えよ。
√
2) = 0 が成り立つとする。ここで, c, d は有
√
√
(1) S = {a + 2b | a, b は有理数 } とする。集合 S の元 z = a + 2b (ただし, a, b は有理数) に対
√
して, j(z) = a − 2b と定義する。S の任意の元 z, w に対して, j(z + w) = j(z) + j(w) および
j(zw) = j(z)j(w) が成り立つことを示せ。
(2) (1) を用いて, S の元 z が f (z) = 0 を満たせば, f (j(z)) = 0 が成り立つことを示せ。このことを用い
√
て, f (1 − 2) = 0 を示せ。
(3) 有理数 c, d を求め, f (x) を有理数の範囲で因数分解せよ。
(2011 年度佐賀大学)
3 関数
∫
f (t) =
1
t
log x
dx (t > 0)
x+t
を考える。ただし, 対数は自然対数とする。
(1) この定積分を x = ty によって置換することにより
∫ 1
∫ 1
log y
1 dy +
f (t) = log t
dy
t−1 y + 1
t−1 y + 1
を示せ。
(2) d
dt
∫
1
t−1
log y
log t
dy = −
を示せ。
y+1
t(t + 1)
(3) 導関数 f ′ (t) を求めよ。
(4) 関数 f (t) の極値を求めよ。
(2011 年度佐賀大学)
巨］次の問いに答えよ。
（1）定数α，わを用いて，Sinβ＋cos∂をαSin（β＋わ）の形に表せ。ただし，α＞0，0≦わく2汀とする。
（2）0≦β≦町の範囲で，Sin∂＋cosβの最大値と最小値を求めよ。
（3）t＝SinO＋cosOとおくとき，SinO・COSOをtを用いて表し，0≦0≦7Tの範囲でsinO・COSOの最大値
と最小値を求めよ。
（4）t＝SlnO＋cosOとおくとき，Sin30＋cos30の最大値と最小値を求めよ。
（2011年度佐賀大学）
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lこ1拍わち ♂二ク．君のとき新通l〝
1ニー1†帥ち伊＝布の七号貴小娘−1
回多項式拍）＝∬4−∬3十C￡2−11〇十dについてJ（1十滴）＝0が成り立つとする。ここで，C，dは有
理数とする。次の問いに答えよ。
（1）5＝（α＋V乍りα，むは有理数）とする。集合gの元Z＝α十ノラむ（ただし，α，わは有理数）に対
して，再）＝α一ヽ偽と定義する。5■の任意の元Z，Wに対して，再＋ぴ）＝j（Z）＋J（可および
プ（ZⅧ）＝プ（Z）プ（可が成り立つことを示せ。
（2）（1）を用いて，方の元ZがJ（Z）＝0を満たせば，J（j（Z））＝0が成り立つことを示せ。このことを用い
て，封1−ノラ）＝0を示せ。
（3）有理数C，dを求め，∫（∬）を有理数の範囲で因数分解せよ。
（2011年度佐賀大学）
如教如上。親政九
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梱＝1㌧無血（…）
を考える。ただし，対数は自然対数とする。
（1）この定積分をご＝旬によって置換することにより
刑＝lo互1誌サイ書類
（2）意⊥浩dy＝一語缶を示せ。
（3）導関数r（亡）を求めよ。
（4）関数押）の極値を求めよ。
（2011年度佐賀大学）
＝宮川山霊巨
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