H26_埼玉県高等学校数学科標準テスト
数学Ⅱ＋Ｂ
解答
平成 26 年度（第 64 回）埼玉県高等学校数学科標準テスト
１．(1)
( x − 2)3 = x 3 − 3 x 2 ⋅ 2 + 3 x ⋅ 22 − 23 = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
解の公式から，2 次方程式 3 x − 3 x + 2 = 0 の解は
2
x=
(4)
解答
(2 x + 1) + 1
1 +
1
1
= 1 +
=
x + 1 2 x 2 + 3 x + 1 x + 1 (2 x + 1)( x + 1) (2 x + 1)( x + 1)
2( x + 1)
=
= 2
(2 x + 1)( x + 1) 2 x + 1
(2)
(3)
数学Ⅱ＋Ｂ
−(−3) ± (−3) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 3 ± −15 3 ± 15 i
=
=
2⋅3
6
6
AB＝ {3 − ( −1)} + (3 − 2) = 16 + 1 =
2
2
17
y − 1 = −5 − 1 ( x − 2) ⇔ y − 1 = −2( x − 2)
5−2
⇔ y = −2 x + 5 (2 x + y − 5 = 0)
(5)
(6)
円 x + ( y + 1) = 9 の中心の座標は (0 , − 1) ，半径は 3
(7)
sin 5 π = sin π + π = − sin π = − 1
4
4
4
2
(8)
θ が第 4 象限の角であるとき， cos θ > 0 であることから
2
2
(
)
( )
cos θ = 1 − sin 2 θ = 1 − − 1
3
5
11
5 + 3− 11
6
4 6 × 43 ÷ 4 6 = 4 6
(9)
2
=
8 = 2 2
9
3
= 42 = 16
log 2 24 − log 2 3 = log 2 24 = log 2 8 = log 2 23 = 3
3
(10)
( x − 3) 4 の展開式における x3 の項は
3
1
3
3
4 C3 x ( −3) = 4 × ( −3) x = −12 x
よって，求める係数は − 12
２．(1)
(2)
3 − i = (3 − i )(1 − 2i ) = 3 − 7i + 2i 2 = 1 − 7i = 1 − 7 i
1 + 2i (1 + 2i )(1 − 2i )
5
5 5
1 − 4i 2
(3)
2 次方程式 x + 3 x + 4 = 0 の 2 つの解を α ,
2
α + β = −3 , αβ = 4
β とすると，解と係数の関係から
したがって
1 + 1 = α + β = −3 = − 3
4
4
α β
αβ
(4)
x3 − 7 x − 6 = ( x + 1)( x 2 − x − 6) = ( x + 1)( x + 2)( x − 3)
−1−
(
http://www.geocities.jp/ikemath
)
⎛ −1⋅1 + 3 ⋅ (−3) −1 ⋅ (−5) + 3 ⋅ 9 ⎞
−10 32
３．(1) ⎜
,
⎟ = 2 , 2 = (−5 , 16)
−
−
3
1
3
1
⎝
⎠
2
(2) 直線 2 x − 3 y − 1 = 0 の傾きは であるから，求める直線の方程式は
3
2
y − 3 = {x − (−2)} ⇔ y = 2 x + 13
3
3
3
t
2( x + 2) − 3( y − 3) = 0 ⇔ 2 x − 3 y + 13 = 0
求める直線の方程式は
y = x − k を x 2 + y 2 = 2 に代入して
x 2 + ( x − k ) 2 = 2 ⇔ 2 x 2 − 2kx + k 2 − 2 = 0
上式の判別式を D とすると，重解条件 D = 0 より
D = k 2 − 2(k 2 − 2) = 0 ⇔ k 2 = 4 ⇔ k = ±2
4
t 円の中心の原点と直線 x − y − k = 0 との距離が半径 2 に等しければよいから
−k
= 2 ⇔ k = 2 ⇔ k = ±2
2
1 + (−1) 2
(3)
(4)
境界線の方程式はそれぞれ
円 x + y = 2 と円 x + y = 3
であるから，境界線を含まない斜線部分の領域を不等式で表すと
2
2
2
2
2
2
⎧⎪ x 2 + y 2 > 4
⎨ 2
2
⎪⎩ x + y < 9
４．(1)
(2)
cos θ = 1 (0 (θ < 2π ) を満たす θ の値は
2
θ = π , 5π
3 3
sin105D = sin(60D + 45D ) = sin 60D cos 45D + cos 60D sin 45D
=
(3)
3 ⋅ 2 +1⋅ 2 =
2
2
2 2
三角関数の合成から
(
6+ 2
4
)
(
sin θ + cos θ = 12 + 12 sin θ + π = 2 sin θ + π
4
4
よって， r =
(4)
2, α=π
4
)
与えられたグラフの振幅が 2 より， y = 2sin θ のグラフを θ 軸方向に −
移動したものである．したがって， y = 2sin
k =2, α =−π
4
−2−
(θ + π4 )
より
π だけ平行
4
H26_埼玉県高等学校数学科標準テスト
５．(1)
3
2
3
3
4
数学Ⅱ＋Ｂ
解答
1
2
3 = 3 において， 1 < 2 < 3 であり，底 3 > 1 より
2 3 4
9 =3 , 3 ,
3
3 < 3 9 < 34
log 2 ( x − 3) = 3 ⇔
(2)
( )
x − 3 = 23
( ) ( )
x −3
x −3
⇔
x = 8 + 3 = 11
4
1
1
(3)
< 1 ⇔
< 1
2
16
2
2
1
0 < < 1 より x − 3 > 4 ⇔ x > 7
2
(4)
常用対数をとって
log10 320 = 20 log10 3 = 20 × 0.4771 = 9.542
したがって， 10 < 3
9
６．(1)
(2)
20
< 1010 であるから， 320 の桁数は 10
f ( x) = 3x 3 − 5 x 2 − 10 を微分すると， f ′( x) = 9 x 2 − 10 x
y = x3 + x − 1 のとき， y′ = 3x 2 + 1 あるから， x = −1 の点における接線の傾きは
3 ⋅ (−1) 2 + 1 = 4
よって，求める接線の方程式は
y − (−3) = 4{x − (−1)} ⇔
y = 4x +1
f ( x) = x 3 − 3x を微分して
f ′( x) = 3x 2 − 3 = 3( x + 1)( x − 1)
右の増減表から関数 f ( x) は
x = −1 のとき，極大値 2
(3)
−1
x
f ′( x)
＋
0
−
0
＋
f ( x)
9
2
:
−2
9
1
をとる．
(4) f ( x) = x + ax + bx − 1 のとき， f ′( x) = 3 x + 2ax + b あるから， x = 0 , 2 で極値を
とるためには
3
2
2
⎧ f ′(0) = 0
より
⎨
⎩ f ′(2) = 0
⎧b=0
⇔ a = − 3 , b = 0 （逆も成り立つ）
⎨
⎩ 12 + 4a + b = 0
⌠
⎮ (6 x 2 − 2 x + 5)dx = 2 x3 − x 2 + 5 x + C （C は積分定数）
⌡
1
７．(1)
1
1
2
⌠
⎮ ( x 2 − x)dx = ⎡ 1 x3 − 1 x 2 ⎤ = 8 − 1 − 4 − 1 = 7 − 3 = 5
⎢⎣ 3
⌡1
2 ⎥⎦1
3
2
3 2 6
(3) 与えられた図から，求める面積を S とする
(2)
2
1
1
1
2
2
⎮ (− x 2 + 2 x − 3)dx = ⎡ 1 x3 − x 2 + 3x ⎤ = 8 + 1 − (4 − 1) + 3(2 + 1) = 9
S = −⌠
⎢⎣ 3
⎥⎦ −1
⌡−1
3
1
1
1
(4)
x
⌠
⎮ f (t )dx = 3 x 2 − x + a の両辺を x で微分して
⌡2
1
1
f ( x) = 6 x − 1
1
両辺に x = 2 を代入して
2
⌠
⎮ f (t )dx = 3 ⋅ 22 − 2 + a ⇔ 0 = 10 + a ⇔ a = −10
⌡2
1
1
1
−3−
http://www.geocities.jp/ikemath
８．(1) 初項 2，公差 3 の等差数列の一般項は
an = 2 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n − 1
(2)
初項 36，公差 −3 の等差数列の初項から第 20 項までの和 S 20 は
1
⋅ 20 {2 ⋅ 36 + (20 − 1) ⋅ (−3)} = 10 ⋅15 = 150
2
(3) 初項 3，公比 −2 の等比数列の初項から第 n 項までの和 S n は
S 20 =
3{1 − (−2) n }
= 1 − (−2) n
1 − (−2)
11
11
1
1
2
(4) Σk ( k + 1) =Σ( k + k ) = ⋅11 ⋅12 ⋅ 23 + ⋅11 ⋅12 = 506 + 66 = 572
6
2
k =1
k =1
Sn =
G
G
a = (3 , 2) のとき， a = 32 + 22 = 13
G
G
G G
(2) a = (1 , 2) , b = ( x − 2 , x) が垂直であるためには， a ⋅ b = 0 より
2
1 ⋅ ( x − 2) + 2 ⋅ x = 0 ⇔ x =
3
G G
G 2
G G
G 2
a − 2b = 9 の両辺を 2 乗して a − 4a ⋅ b + 4 b = 81
(3)
G
G
a = 5 , b = 3 を代入して
G G
G G
G G
25 − 4a ⋅ b + 36 = 81 ⇔ 4a ⋅ b = −20 ⇔ a ⋅ b = −5
９．(1)
(4)
外分点の位置ベクトルから
G G
JG −2a + 3b
G G
p=
= −2a + 3b
3− 2
P (5( X ( 7) = P ( X = 5) + P( X = 6) + P( X = 7) =
10．(1)
(2)
4
5
6 15
5
+ +
=
=
36 36 36 36 12
E ( X ) = 0 × P( X = 0) + 1× P( X = 1) + 2 × P( X = 2)
C × C
C
6 2
8
4
= 1× 2 1 3 1 + 2 × 2 2 = + = =
10 10 10 5
5 C2
5 C2
t
E( X ) = 2 ×
2 4
=
5 5
(3)
1 25
E ( X ) = 50 × =
6
3
(4)
1 個の硬貨を 2 回投げる試行において，表が出る回数 X は，二項分布 B ⎜ 2 ,
⎛
⎝
う．したがって，分散 V ( X ) は， V ( X ) = 2 ×
V (2 X − 1) = 22 V ( X ) = 4 ×
1
= 2
2
−4−
1 ⎛ 1⎞ 1
× ⎜1 − ⎟ = であることから
2 ⎝ 2⎠ 2
1⎞
⎟ に従
2⎠
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