数学 A2 §12 極座標と2重積分演習問題

数学 A2 §12 極座標と２重積分演習問題
演習の進め方：以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用
い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問
があれば⃝
? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること.
ウォーム・アップ問題 1. 次の極座標で表わされた領域に対応する xy-平面内の領域の図を下の a.∼d. の中から選べ.
π
π
(1) 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π
(2) 0 ≤ r ≤ 2, − ≤ θ ≤
2
2
π
(3) 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π
(4) 1 ≤ r ≤ 2,
≤θ≤π
2
a. b. y
O 1 2 x
c. y
O
2 x
d. y
O
2
y
2
1
x
O
課題 (
)
5
問題 2. 極座標が (r, θ) = 1, π の点を直交座標で表せ.
4
問題 3. 直交座標が (x, y) = (−3, 0) の点を極座標で表せ. ただし 0 ≤ θ ≤ 2π とする.
問題 4. 領域 D : x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 を極座標 (r, θ) で表せ.
∫∫
問題 5. 前問の D に対し 2 重積分
xdxdy を極座標に変換して計算せよ.
∫∫
D
(x2 + y 2 ) dxdy, D : x2 + y 2 ≤ 1 を極座標を使って計算せよ。
問題 6. 2 重積分
D
∫∫
問題 7. 2 重積分
D
1
dxdy, D : 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 3 を極座標を使って計算せよ。
1 + x2 + y 2
x
解 1. (1) b.
(2) c.
解 2.
(3) a.
(4) d.
(
)
5
1
x = r cos θ = 1 · cos
π = −√
4
2
( )
1
5
y = r sin θ = 1 · sin
π = −√
4
2
(
)
ゆえに (x, y) = − √12 , − √12 .
√
√
解 3. r = (−3)2 + 02 = 9 = 3 であるから,
x
cos θ = = −1,
r
0 ≤ θ ≤ 2π より θ = π. ゆえに (r, θ) = (3, π).
sin θ =
y
=0
r
解 4. D : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π2
[右図のように, D は半径 2 の円板の第 I 象限の部分を表している.]
y
2
O
解 5.
∫∫
∫∫
∫
2
r cos θ · rdrdθ =
dr
D
0
]2
[
∫ 2
1 3
8
2
=
= .
r dr = r
3 0 3
0
∫
xdxdy =
D
π
2
∫
2
r cos θdθ =
0
0
2
2x
[
]θ= π2
dr r2 sin θ
θ=0
y
解 6. 極座標で D は 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π と表される.
∫∫
∫∫
1
(x2 + y 2 )dxdy =
(r2 cos2 θ + r2 sin2 θ)rdrdθ
x
O
D
D
∫∫
=
r3 drdθ
∫ 1D ∫ 2π
∫ 1 [ ]θ=2π
3
=
dr
r dθ =
dr r3 θ
θ=0
0
0
0
[
]1
∫ 1
1
1
=
2πr3 dr = πr4 = π
2
2
0
0
√
√
解 7. 領域 D は極座標で 2 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π と表される.
∫∫
∫∫
∫∫
1
r
1
dxdy =
· rdrdθ =
drdθ
2
2
2
2
2
2
2
D 1 + r cos θ + r sin θ
D 1+r
D 1+x +y
]r=√3
∫ 2π ∫ √3
∫ 2π [
1
r
=
dθ √
dr =
dθ
log 1 + r2 √
2
2
0
0
2 1+r
r= 2
∫ 2π
4
1
(log 4 − log 3) dθ = π log
=
2
3
0

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