問題の解答例

応用解析・レポート問題（4 月 11 日）
問題の解答例
問題 1.1. （1 点）
単振動の方程式
m
d2 u
= −ku
dt2
を連立１階微分方程式に書き直せ。
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簡単のために、関数の微分を u0 (t) =
u2 (t) = u0 (t) と置く。明らかに、u01 =
du
d2 u
00
dt (t)、u (t) = dt2 (t) というふうに書く。新しい未知関数を u1 (t) = u(t),
u0 = u2 。また、微分方程式より mu02 = mu02 = mu00 = −ku = −ku1 が
成り立つので、次の連立１階微分方程式が得られた：
u01
=
u2
u02
=
−
u0
= au + bv
v0
= cu + dv
k
u1
m
問題 1.2. （0.5 点）
連立 1 階微分方程式
から v を消去し、u に関する微分方程式を導け。ここで、a, b, c, d は実数定数である。
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最初の式より v （の定数倍）を表すと、bv = u0 − au となる。これを微分すると、bv 0 = u00 − au0 を得る。こ
れを２本目の式（の b 倍）に代入する：
u00 − au0 = bv 0 = bcu + dbv = bcu + d(u0 − au).
すなわち、u についての２階常微分方程式が得られた：
u00 − (a + d)u0 + (ad − bc)u = 0
ただし、以上の計算は b 6= 0 のときにのみ正しい。b = 0 のとき、最初の方程式より u に対する方程式 u0 = au
がすぐにしたがう。
問題 1.3. （1 点）
エジプトの木棺の木材に含まれる炭素 14 の量が現在の木材に含まれる炭素 14 の量の 60 ％であることが測定
によりわかった。木棺の作られた年代を特定せよ。
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放射性物質の崩壊を表すモデル方程式
du
= −λu
dt
u(t0 ) = u0
を解けば
u(t) = u0 e−λ(t−t0 )
という解が得られる。ここで、λ は壊変定数で u0 は時刻 t0 における放射性物質（炭素 14）の量を表す。
炭素 14 の半減期を調べると、T = 5730[年] である。T と λ の関係を調べる：
u(T ) = u0 e−λT =
1
u0
2
したがって、
log 2
T
木棺が作られたときから時間 t1 が経った現在は、木棺に含まれる炭素 14 の量は 0.6u0 であるから
λ=
u 0 e−
log 2
T (t1 −t0 )
= 0.6u0 ,
つまり
t1 − t0 = −
木棺が約 4223 年前に作られたことになる。
log 0.6
T ≈ 4223[年],
log 2
問題 1.4. （1 点）
a, b ∈ R に対して a2 − 4b < 0 とする。方程式 λ2 + aλ + b = 0 の解を λ = α ± iβ（α, β は実数）とすると、関数
y(x) = eαx (cos βx −
α
β
sin βx)
が微分方程式
y 00 + ay 0 + by = 0
の解であり、初期条件
y(0) =
1
0
y (0) =
0
を満たすことを示せ。
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積の微分の公式を用いて関数 y の x についての１階微分と２階微分を計算し、得られた式を微分方程式と初期
条件に代入すれば、題意を直接確かめることができる。
y(x) =
eαx (cos βx −
y 0 (x) =
αeαx (cos βx −
α
β
sin βx)
α
β
sin βx) + eαx (−β sin βx − α cos βx)
α2 + β 2 αx
e sin βx
β
α2 + β 2 αx
−
e (β cos βx + α sin βx)
β
= −
y 00 (x) =
よって、
y 00 + ay 0 + by = eαx
[(
]
)
( α2 + β 2
α2 + β 2
α )
α+
a + b sin βx
− (α2 + β 2 ) + b cos βx −
β
β
β
α ± iβ が 2 次方程式の根であることから a = −2α, b = α2 + β 2 が成り立つので、
−(α2 + β 2 ) + b
α +β
α2 + β 2
α
α+
a+ b
β
β
β
2
2
= 0
α2 + β 2
=
(2α + a) = 0
β
以上、y 00 + ay 0 + by = 0 が示された。初期条件が満たされることは以下のように確認できる：
y(0) =
y 0 (0) =
e0 (cos 0 −
−
2
2
α
β
sin 0) = 1
α +β 0
e sin 0 = 0
β

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