(1) f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
xy 平面上で，媒介変数 µ により
x=
B
cos 2µ cos µ;
y=
B
5
cos 2µ sin µ
#¡
連続関数 f(x) に対して v(x) =
Z
x
0
氏名
et f(x ¡ t) dt とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) f(x) = x のとき，v(x) を求めよ．
¼
¼
;
5µ5
4
4
(2) v(x) + f(x) = sin4 x のとき，v(x) を求めよ．
f(x)
(3) v(x) + f(x) = sin4 x のとき，lim
を求めよ．
x
x!0
と表される曲線を C とする．
(1) 曲線 C 上で y 座標が最大となる点の座標を (p; q) とする．(p; q) を求めよ．
(2) 曲線 C で囲まれた図形のうち x = p の部分の面積を求めよ．ただし，p は (1) で求めた x 座
標である．
2
6
(1) 0 5 x 5 ¼ の範囲で方程式 cos 2x ¡ cos x = 0 の解を求めよ．
2
(2) 0 5 x 5 ¼ の範囲で 2 つの曲線 y = cos 2x と y = cos x で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
関数 f(x) = (¡4x2 + 2)e¡x について，次の問いに答えよ．
(3) (2) の図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ．
(1) f(x) の極値を求めよ．
(2) a を a = 0 となる実数とし，I(a) =
Z
a
0
2
e¡x dx とする．このとき，定積分
Z
a
0
2
x2 e¡x dx を
7
a; I(a) を用いて表せ．
関数 y =
(2) (1) で求めた P の x 座標を b とするとき，
2e ¡ 1
で
2e + 1
あるとする．ただし，e は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
1
のグラフ C について，次の問いに答えよ．
ex + e¡x
(1) C の変曲点のうち，x 座標が最大となる点 P の x 座標を求めよ．
座標平面上の曲線 C は媒介変数 t (t = 0) を用いて x = t2 + 2t + log(t + 1)，y =
t2 + 2t ¡ log(t + 1) と表される．C 上の点 P(a; b) における C の接線の傾きが
(3) 曲線 y = f(x)，x 軸，y 軸および直線 x = 5 で囲まれる部分の面積を求めよ．
3
次の問いに答えよ．
(1) a と b の値を求めよ．
(2) Q を座標 (b; a) の点とする．直線 PQ，直線 y = x と曲線 C で囲まれた図形を，直線 y = x
の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．
b
tan µ = e
¼
; に対し，tan 2µ および µ の値を求めよ．
2
(3) 上の b に対する直線 x = b と x 軸，y 軸および C で囲まれた図形の面積を求めよ．
をみたす µ #0 < µ <
4
関数 f(x) = log(1 + x2 ) について，次の問いに答えよ．
(1)
Z
1
0
(2) 導関数
えよ．
(1) 円 K が直線 y = x ¡ 2 と接するときの a の値を求めよ．
Z 1C
(2) t を変数とする関数を，F(t) =
1 ¡ x2 dx (¡1 5 t 5 1) とする．0 5 a < 1 のとき，円
K の内部と領域 x 5 0 の共通部分の面積を関数 F(t) を用いて表せ．
=
f0 (x) のグラフの概形をかけ．
(3) 曲線 C : y = f(x) と曲線 C の互いに直交している 2 本の接線とで囲まれる図形の面積 S を求
めよ．
座標平面において x 軸上を動く点 P(a; 0) を中心とする半径 1 の円を K とする．次の問いに答
t
log(1 + x2 ) dx を求めよ．
f0 (x) の増減を調べ，y
8
(3) 領域 D = f(x; y) j x = 0; y = x ¡ 2g とする．円 K の内部と領域 D との共通部分の面積が
最大となるときの a の値を求めよ．

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