f(x) - SUUGAKU.JP

1
2
関数 f(x) が
8
f(x) = cos x +
7
Z
0
¼
3
(1) 平面上の 2 円 C1 ; C2 が，異なる 2 点 P，Q で交わっていると
f(t) sin t dt
する．点 P における円 C1 の接線と点 P における円 C2 の接線
のなす角を ® (0± < ® 5 90± ) とし，点 Q における円 C1 の接
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1) f(x) を求めよ．
(2) ® を 0 でない定数とするとき，不定積分
線と点 Q における円 C2 の接線のなす角を ¯ (0± < ¯ 5 90± )
Z
とする．このとき，® = ¯ であることを示せ．
x2 sin ®x dx を
求めよ．
x
(3) 2 曲線 y = f(x) (0 5 x 5 ¼) と y = f # ; (0 5 x 5
2
2¼)，および x 軸で囲まれた図形を図示せよ．
(4) (3) の図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積
を求めよ．
次の問いに答えよ．
(2) xy 平面上の 2 点 (1; 0); (0; 1) を通る円 C1 が，円 C2 :
x2 + y2 = 4 と異なる 2 点で交わるとする．(1) における角
®(= ¯) が 90± であるとき，円 C1 の方程式を求めよ．
3
関数 f(x) が連続な第 2 次導関数 f00 (x) をもち，正の定数 M
に対して，区間 [a; b] 上で常に jf00 (x)j 5 M を満たすとす
る．次の問いに答えよ．
(1) c 2 [a; b] とする．このとき，任意の x 2 [a; b] に対して
f(c)+f0 (c)(x¡c)¡
M
M
(x¡c)2 5 f(x) 5 f(c)+f0 (c)(x¡c)+
(x¡c)2
2
2
が成り立つことを示せ．
(2) (1) において，c が [a; b] の中点であるとき
¯Z
¯
¯ b
¯
M
3
¯
¯
¯ a f(x) dx ¡ f(c)(b ¡ a)¯ 5 24 (b ¡ a)
が成り立つことを示せ．
(3) n = 1; 2; 3; Ý に対して
¯Z
n
¯ b
P
b¡a
2k ¡ 1
¯
(b ¡ a);
f #a +
¯ a f(x) dx ¡
2n
n
k=1
が成り立つことを示せ．
¯
¯
¯ 5 M (b¡a)3
¯
24n 2

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