力学・波動 II 試験 2014 年 2 月 7 日 9·10 時限
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解答はこの用紙に記入すること.計算用紙 (A4) は回収しません!
問 1 (x, y, z) 表示で A = (ax , ay , az ), B = (bx , by , bz ) と表されるベクトル
A, B がある.下記の量をもとめよ.
(1) |A| =
問 4 図のように,地上に固定した慣性系 Oxyz と,
y
z(=ζ) 軸まわりに一定の角速度の大きさ ω で
反時計回りに回転する座標系 Oξηζ がある. η
Oxyz 系の基本ベクトルは i = (1, 0, 0),j =
(0, 1, 0),k = (0, 0, 1),Oξηζ 系の基本ベク
トルは eξ ,eη ,eζ である.それらの間には,
z =ζ
ωt
eξ = cos(ωt)i+sin(ωt)j ,eη = − sin(ωt)i+
0
cos(ωt)j ,eζ = k の関係がある.ω = weζ
とし,以下の問いに答えよ.
(1) 本文中の eξ ,eη から e˙ ξ ,e˙ η を求めよ.i,j を用いて記すこと.
ξ
x
(2) A · B =
(2) e˙ ξ と ω × eξ の間の関係式,e˙ η と ω × eη の間の関係式をそれぞれ示せ.
(3) A と B がなす角度を θ としたときの cos θ の値
問 2 図のように,地上に固定した慣性系 Oxyz
に対して一定の加速度 A で併進する座
標系 Ox y z がある.Oxyz 系および
Ox y z 系から見た質点 P の位置ベク
トルをそれぞれ r ,r とし,Oxyz 系か
ら見た Ox y z 系の原点の位置ベクトル
を R とする.
z′
z
R
o
x
o′
y
r′
x′
r
y′
(3) Oξηζ 系から見た質点の位置ベクトルが r = ξeξ + ηeη として表されると
き,速度 r˙ を v ,ω ,r を用いて表せ.ただし,v は Oξηζ 系から見た
˙ ξ + ηe
˙ η である.[ヒント:(2) の結果を用い
質点の速度,すなわち v = ξe
る.]
P
(1) r を R と r を用いて示せ.
r を a ,v ,ω ,r を用いて表せ.ただし,
(4) (3) の r に対して,加速度 ¨
¨ ξ + η¨eη である.
a は Oξηζ 系から見た質点の加速度,すなわち a = ξe
[ヒント:(2) の結果を用いる.]
r をAと¨
r を用いて示せ.
(2) 加速度 ¨
問 3 問 2(2) の結果を用いて,加速中の電車の中で,大きさの無視できる質量
m の物体を真上に投げ上げるときの物体の運動について調べる.ここでは
図のように,地表に固定した静止座標系 (Ox,y 系) と電車に固定した加速
並進座標系 (Ox ,y 系) を用いる.Ox,y 系は,水平,鉛直方向にそれぞれ
x,y 軸をとり,Ox ,y 系は,電車の床に沿った水平方向に x 軸,鉛直方
向に y 軸をとる.時刻 t (t
0) での電車の加速度 A は Ox,y 系から見
て A = (−2t,0) である.さらに,Ox ,y 系から見た t=0 での物体の位置
r0 と速度 v0 はそれぞれ r0 = (0,0),v0 = (0,v0 ) (v0 > 0) とする.
ここで,ベクトルの表記 (X ,Y ) の X と y
Y は各座標系の水平方向と鉛直方向の成
分をそれぞれ表す.なお,物体は電車の
電車
y′
床以外には衝突しないものとし,さらに
空気の抵抗は無視できるものとする.ま
物体
た,重力加速度の大きさは g とする.以
x′
O′
下の問いでは,物体が最初に床に衝突す
x
O
るまでの運動を考える.
(1) Ox ,y 系から見た物体の運動方程式を m,g などを用いて表せ.なお,Ox
系から見た物体の加速度は (¨
x,
y¨ ) と書くこと.
,y
(5) 質点の質量が m のとき,Oξηζ 系での質
点の運動方程式「ma = · · ·」の右辺に
はコリオリの力 2m(v × ω) が含まれる.η
右図のように,ある時刻における質量 m
の質点 A,B の Oξηζ 系から見た速度が
それぞれ v = |v|eξ ,v = −|v|eξ で
あったとする.このときの質点 A,B に
z =ζ
はたらくコリオリの力をそれぞれ矢印で
図示せよ.矢印の長さは 1 cm 程度とせ
よ.なお,図には質点 A,B を通り ξ 軸
に直交した点線 (補助線) を記した.
,y
系から見た時刻 t での物体の速度 (x˙ ,
y˙ ) を示せ.
ξ
B
A
ωt
x
0
問 5 図のように,滑らかな水平面上で,質量がともに M の 2 つの物体 A,B
が一直線上で衝突する場合を考える.物体 A,B がそれぞれ速度 VA ,VB
で衝突するとき,A,B の衝突後の速度はそれぞれ VA ,VB であった.ま
た,衝突の際,A の運動エネルギーと B の運動エネルギーの和は保存され
たとする.以下の問いに答えよ.
VA
(2) Ox
y
A
VA′
VB
B
衝突前
x
A
VB′
B
衝突後η
x
(1) A の運動量と B の運動量の和の保存の式を示せ.
ωt
z =ζ
(2) A の運動エネルギーと B の運動エネルギーの和の保存の式を示せ.
0
(3) VA ,VB を VA ,VB を用いて表せ.
(3) 物体が床に衝突する時刻を示せ.
(4) 物体が床に衝突する位置を Ox
を用いて表せ.
,y
系で表すと (x1 ,0) となる.x1 を v0 ,g
(4) (3) の結果を用いて,はね返り係数 e = −(VB − VA )/(VB − VA ) を求めよ.
問 6 図 の よ う に ,長 さ ,質 量 m の 一 様 な 棒 の 一 端 を ,摩 擦 の あ る 鉛 直 問 8
な壁に押し当て,他端には軽くて伸びない糸を結び,その糸の他端を
y
棒が水平になるように壁に固定する.このと
き,糸と棒のなす角は θ (> 0) とする.θ が
(1)
θ0 より大きいとき,棒は滑り出す.tan θ0 を
下記問いに順に答えることで求めよ.なお,物
糸
体と壁の間の静止摩擦係数は μ,重力加速度 壁
の大きさを g とする.また,図のように,棒
に沿って x 軸,壁に沿って y 軸,xy 面に垂
θ
棒
直に z 軸をとる.棒の端と壁との接点は原点 z
x
P
G
O であり,棒の他端を点 P ,棒の重心を点 G
O
とする.ベクトルは成分 (x, y, z) で表示せよ.
−
−
→
(1) OG を
x 軸上を進む 2 つの波 y1 = A sin(kx − ωt),y2 = A sin(kx + ωt) (t は
時刻,x は位置,A,k,ω は正の定数) の合成波 y = y1 + y2 について以
下の問いに答えよ.
y を x だけを変数とする三角関数と t だけを変数とする三角関数の積の形
で表せ.
を用いて表せ.
(2) 棒にはたらく力は,重力 fg ,壁からの垂直抗力 TO ,ひもからの張力 TP ,
壁からの摩擦力 fO である.これらを M ,g ,θ ,T ,T ,f のうち必要な
ものを用いて示せ.ここで T は壁からの垂直抗力の大きさ,T はひもから
の張力の大きさ,f は摩擦力の大きさを表す.
(2) (1) の y が x=0 で固定端 (節),x=L で自由端 (腹) となる定常波を表す
とする.許される定常波の波長 λ を L と n(=0,1,2,3,· · ·) を用いて
表せ.
• 棒にはたらく重力 fg =
• 壁からの垂直抗力 TO =
• ひもからの張力 TP =
• 壁からの摩擦力 fO =
(3) (2) の結果を用いて棒にはたらく力の合力 F を求めよ.
(4) (1),(2) の結果を用いて原点 O まわりの力のモーメントの和
−→
−
−
→
N =OP × TP + OG × fg を求めよ.
問 9 図のように,質量 M ,長さ の一様な棒に対して,
棒の重心 G から距離 h だけ離れた棒上の点を原点
O に固定する.ここで座標軸は,z 軸を鉛直下向き,
xy 面を水平にとり,y 軸の正の向きは紙面裏から
表の向きになるようにとる.この棒を y 軸を回転軸
として xz 面内で小さく振動させた (振り子運動).
棒が z 軸となす角を図のように反時計まわりに測っ
て θ とし,時刻 t での θ を θ(t) と表す.重力加速
度の大きさを g として,以下の問いに答えよ.
y
O
x
h
θ
G
z
(1) y 軸まわりの棒の慣性モーメント I を M , ,h を用いて表せ.
(5) θ = θ0 のとき,f は最大静止摩擦力 fmax である.この fmax を μ,T を
用いて示せ.
(2) 時刻 t のときを考える.原点 O まわりの棒の重力のモーメントの y 成分
Ny を M ,g ,h,θ(t) を用いて表せ.
(6) θ = θ0 の場合を考える.(3),(4),(5) の結果と剛体のつり合いの条件式
(F =0,N =0) から T と T を消去して tan θ0 を求めよ.
¨ ,θ(t),M ,g ,h
(3) 角運動量の y 成分 Ly についての運動方程式を I ,θ(t)
を用いて表せ.
4
3
α
β
2
y [m]
問 7 図のように x の正の向きに一定の速
さで進む波を考える.波は時刻 t=0
s のときは α の波 (実線) であり,
2π
2π
x+
y = 3 sin
[m] で表
3
3
される.時間 1 s の間に波は x の
正の向きに 2 m 進み,t=1 s では
β の波 (点線) になる.以下の問い
に答えなさい.
(4) (3) の結果に対して,θ(t) が 1 より十分に小さい場合 (sin θ(t) ≈ θ(t) が成
˙
= 0 とすると
り立つとき) について考える.初期条件を θ(0) = θ0 ,θ(0)
き,θ(t) を I ,M ,g ,h,θ0 ,t を用いて表せ.[ヒント:c, a, b を定数と
2 θ(t) の一般解は θ(t) = a cos(ct) + b sin(ct) である.]
¨
するとき,θ(t)=−c
1
0
–1
–2
–3
–4
–1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x [m]
(1) 時刻 t [s],位置 x [m] での波の式を示せ.
(2) この波の振幅 [m],波長 [m],波の速さ (位相速度の大きさ) [m/s],初期
位相 (t=0 s かつ x=0 m での位相) [rad],角振動数 [rad/s],周期 [s] を
示せ.
振幅:
初期位相:
,
波長:
, 角振動数:
,
波の速さ:
, 周期:
(5) (4) の結果から,棒の振り子運動の周期 T を I ,M ,g ,h,円周率 π を用
いて表せ.