演習問題 1

概論 IV 演習
§1. 複素数と複素平面
2014 年 9 月 30 日出題
p
[ 1.1 ] (1) ↵ := 1
3 i の極形式を書け．偏角は主値をとること． z
(2) 複素数 z とそれに (1) の ↵ をかけた ↵z の位置関係を図示せよ．
角度，長さの比等，必要な情報を書き込むこと．
O
[ 1.2 ] z = x + iy とおかずに z や z をうまく使って，次を示せ．
1 < 1
Re 1 > 1 () z
z
2
2
2
[ 1.3 ] ↵ 2 C \ R とする．このとき， 1 + ↵ 2 R () ↵ = 1 を示せ
↵
（この問題も，↵ を実部・虚部にわけることなく計算すること）．
[ 1.4 ] z 4 =
2 となる z 2 C をすべて求めて複素平面上に図示せよ．
[ 1.5 ] 2 次方程式 z 2
(5 + i)z + 8 + 4i = 0 を解け．
[ 1.6 ] 平方して a + ib (a, b 2 R) となる複素数を ↵ とする．平方して b + ia となる
複素数を ↵ を用いて表せ（共役複素数 ↵ を用いてもよい）．
[ 1.7 ] c > 0 とする．複素数 z, w に対して次の不等式を示せ．
⇣
⌘
1
2
2
z + w 5 (1 + c) z + 1 +
w 2
c
[ 1.8 ] 以下の問いに答えよ．
(1) 5 + i の偏角 ✓ は 0 < ✓ < ⇡ をみたすようにとれることを示せ．
6
(2) (5 + i)4 (1 i) の極形式を (1) の ✓ を用いて表せ．
(3) (5 + i)4 (1 i) を直接計算して問 (2) の結果と比較することで，次の等式を示せ．
ただし Arctan t (t 2 R) は逆正接函数の主値である．
4 Arctan 1 Arctan 1 = ⇡
5
239
4
⇣
⌘
[ 1.9 ] z, w は 0 でない複素数とし，P := (z + w) 1 + 1 とおく．このとき，
z
w
次の (1), (2) を示せ．
(1) P 2 R () z 2 R または z = w ．
w
(2) P 2 R かつ P = 4 () z 2 R かつ z > 0．
w
w
(i 1)z
が実数になるように動くものとする．このとき z は
i(z 2)
複素平面上でどんな曲線を描くことになるか．
[ 1.10 ] 複素数 z は，
[ 1.11 ] 0 < ↵ < ⇡ とする．
2
(1) 領域 D := z 2 C ; z 1 < cos ↵, arg(z 1) ⇡ < ↵ を図示せよ．
1 z
(2) z 2 D のとき，
< 2 であることを示せ．
1
z
cos ↵
[ 1.12 ] ↵ 2 C \ {0} とする．このとき， z + z = 1 をみたす複素数 z は，2 点 0, ↵
↵
↵
を結ぶ線分の垂直 2 等分線上を動くことを示せ．
[ 1.13 ] P0 は複素平面上の点 1 を表すとし，単位円周上に (n 1) 個の点 P1 , . . . , Pn 1
を順にとって，正 n 角形 P0 P1 · · · Pn 1 をつくる (n = 3)．
nQ1
(1) k = 1, 2, . . . , n 1 について線分 P0 Pk の長さを `k とおくとき，
`k = n であ
k=1
ることを示せ．（Hint: 点 Pk を表す複素数 !k 達を根にもつ多項式を考える）
(2) (1) を用いて次の等式を示せ：
nQ1
sin k⇡ = nn 1 ．
n
2
k=1
以上

Download Report