統計学第５回西山第４回のまとめ主な確率分布バイナリー分布（０‐１分布）一様分布正規分布 N（平均、分散）正規分布の確率の求め方 1. 標準値に直す ⇒ 平均０、分散１ 2. 数値表の使い方 1シグマ区間じゃ復習クイズ１．確率変数Xは正規分布N(168,100)に従っている．確率 P(158 ≦ X ≦ 178)を求めなさい．更に、同じ分布で確率 P(170 ≦ X ＜ 180)を求めなさい．２．一様分布U[0,1]に従う確率変数Xから新たにY=2X+1 のように変数Yを定義する。E[Y]とV[Y]を求めなさい．３．確率変数Xの確率分布は次の式で表される． ax, 0  x  2 f ( x)    0, その他定数aの値を求め、さらにE[X]とSD[X]を求めなさい． 2シグマ区間はどうなる？で、確率は？ 3シグマもたまあに使うぞ！第５回目の目標標本分布とは何のことか？データの平均値（＝標本平均）の分布とばらつき方ここが最初の難関かも知れんな教科書：第３章の頁99～108、特に 108頁の例題29 第3章に進みます 1. 2. 3. 第3章は難所です．第3章は統計理論の急所です．第3章はポイントだけをとりあげます．まず、データは無作為が原則です！サイコロを10回ほど振ってみましょう・・・不規則というかランダムだなあ 1、1、4、6、4、3、2、3、6、5 得点状況をちょっと10人くらい見てみるか・・・ 15、95、70、73、88、25、98、69、71、73 ン？これは作為がありますヨ、図星でしょ！なぜ無作為データであるべきか？１．故意にとるデータは捏造と呼びます．２．ランダムであるとき必然性が現れます．つまりランダムにとったデータの結果だけは、定理や法則が知られています．では、ちょっと実験してみよう正しいサイコロを2個振って出る目の平均をとろう・・・どうなる？データ1 1回目 2回目 3回目 4回目 5回目平均分散データ2 4 2 1 5 1 2.6 2.64 ここに出てくる分布を標本分布と言うな 2 5 5 5 3 4 1.6 標本平均標本分散 3 1 3.5 2.25 3 4 5 0 2 1 3.3 1.65 0.96 1.89 ちょっと5回やってみたんじゃが・・・平均値はやるたびに違うのう 5回くらいじゃ分からん！1000回やれ！標本平均の分布 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 最大値最小値平均値分散 1- 1.5- 2- 2.5- 3- 3.5- 4- 4.5- 5- 5.51.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6 1 3.475 1.439314 着目点は分布の中心とバラツキじゃ１．これまた別の分布の形になりましたね２．平均は元の値だが、分散は2.92の2分の1になりました．データ数を増やすと・・・ 2個のサイコロだとう～む、何か法則がありそうじゃのう 10個に増やすと標本平均の分布標本平均の分布 250 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 200 150 100 50 1- 1.5- 2- 2.5- 3- 3.5- 4- 4.5- 5- 5.51.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 最大値最小値平均値分散 6 1 3.475 1.439314 1. 51 1. .86 86 -2 2. .22 22 -2 2. .58 58 -2 . 2. 94 94 -3 3. .3 33 3. .66 66 -4 4. .02 02 -4 4. .38 38 -4 . 4. 74 74 -5 .1 0 最大値最小値平均値分散 5.1 1.5 3.4806 0.312917 理論としてはこうなる！第3章の定理8が基本じゃが、定理10までは落とせんな平均がμ、分散がσ2 である集団から無作為に取り出した n 個のデータを X 1 , X 2 , X n とし、データから求められる標本平均を X とおく。このとき、 X の標本分布の平均と分散はそれぞれ E X    V X   となる。形は常に正規分布と思っていいのじゃ・・・ 2 n 教科書106頁とにかくこれを使いこなすのがポイントじゃ理論的に求めよう・・・ 2個の正しいサイコロを振って出る目の平均と分散はさっきの表を見ながら定理8を証明してごらん  E X   3.5     V X   2.92  1.46 2   2.92  2   3 .5 では10個のサイコロを振ったときについて同じ質問！実験結果と合ってるじゃろう？  E X   3.5     V X   2.92  0.292 2   2.92  10   3 .5 データの結果もばらつきますいくつかのデータの結果を統計量と言います．代表例は平均値と分散、標準偏差．  統計量は特有の確率法則にしたがいます．この分布のことを標本分布と言います．  特に標本平均（＝データの平均）の標本分布は重要です．  練習問題（１）ある乗用車のブレーキはかけてから40メートルで停止するように作られている．ただ踏み込むときの強さなどから停止距離にはバラツキがあり、その標準偏差は1メートルとおいてよい．いま10回反復してブレーキのテストを行うと、10回の停止距離の平均値はどの程度の値になるか．1シグマ区間で解答しなさい． EX   40 1 V X    0.1 SDX   0.1  0.32 10 2 練習問題（２）旅客機利用客の体重は全体として平均55Kg、標準偏差 10Kgで分布していると言われる。では定員400人が満席の時の旅客総ウェイトの最大値をいくらと見込むとよいか？標本平均の分布合計をきいているが、合計と平均は紙一重じゃ 250 200 150 100 0 -5 3. 53 .83 83 -5 4. 54 .14 14 -5 4. 54 .44 44 -5 4. 54 .75 75 -5 5. 55 .05 05 -5 5. 55 .35 35 -5 5. 55 .66 66 -5 5. 55 .96 96 -5 6. 56 .26 26 -5 6.5 7 こうなることは理論的にわかっておった！定理8じゃ！ 50 53 .53 総ウェイト＝ 400  （400人の平均体重 ) 最大値最小値平均値分散 56.56709 53.53117 55.00031 0.256368 実験結果じゃ練習問題（２）の解答全体として平均55ｋｇ、標準偏差10ｋｇで分布している．つまりμ=55、σ2=102だから平均値の分布 E X   55 10 2 V X    0.25  SDX   0.25  0.5 400 図を描いて、2 シグマ区間を示しなさい最大値は３シグマ区間の上限で憶測するのが簡単な方法だから Xの最大値  55  3  0.5  56.5 心配なら４シグマをとればまあ安心じゃ．最大57ｋｇじゃナ！次回への予習のポイント次回は標本平均の分布について問題が解けるようになってもらいます教科書の関係部分：頁104～116までの特に例題を参照してください